高三数学竞赛题

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高三数学比赛题



高三数学比赛题



．⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证： EF中点P是△ABC之心里.



设n〔≥2〕是整数，证明：



在平面上画一个9×9的方格表，每一小方格中随意填入＋1或－

1．对随意一个小方格，将与它有一条公共边的所有小方格(不包括此格自己)中的数相乘，于是每取一格，就算出一个积．在所有小格都取遍后，再将这些积放入相对应的小方格中，这称为一次改动．能否总可以经过有限次改动，使得所有小方格中的数都变为1？



求出大于1的整数的个数，使得对随意的整数，都有加试模拟训练题〔61〕



1．⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之心里.



(B·波拉索洛夫?中学数学奥林匹克?



)

剖析：在第20届IMO中，美国供给的一道题其实是例8的一种特例，但它增添了条件AB=AC当.AB≠AC，如何证明呢？



如图，明显EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC均分线上.易知AQ=.



∵QK·AQ=MQ·QN，



∴QK=



==.



Rt△EPQ知PQ=.



∴PK=PQ+QK=+=.

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∴PK=BK.



利用心里等量关系之逆定理，即知 P是△ABC这心里.



设n〔≥2〕是整数，证明：



【题说】1992年日本数学奥林匹克题



3．

在平面上画一个9×9的方格表，每一小方格中随意填入＋1或－

1．对随意一个小方格，将与它有一条公共边的所有小方格(不包括此格自己)中的数相乘，于是每取一格，就算出一个积．在所有小格都取遍后，再将这些积放入相对应的小方格中，这称为一次改动．能否总

可以经过有限次改动，使得所有小方格中的数都变为 1？



【题说】1992年中国数学奥林匹克题



3．

【解】答案能否定的．



如图a(未填数的空格中填1)经一次变换得图b，再经一次变换又恢复为图a，反频频复，永久不可以使所有的数都变为1．



求出大于1的整数的个数，使得对随意的整数，都有



设知足条件的正整数构成会合S，假定，，那么，因此S中所有数的最小公倍数也属于S，即S中的数是其他每个数的倍数。，那么的约数也

整除，于是只要确立数，其全部大于



1的约数构成会合 S。

S共有31个元素。

，而且，由费马小定理，易证，因此，会合

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