余弦定理及推导

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1.1. 2余弦定理

余弦定理定义及公式

余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。是勾股 定理在一般三角形情形下的推广。

a2=b2+c2-2bccosA

余弦定理证明



如上图所示，△ABC,在c上做高，根据射影定理，可得到:

C = （7COS（#） + 0COS（4）

将等式同乘以c得到：

c2 = accos(p) + bccos(a) 运用同样的方式可以得到： a2 = accos(^)十ab cos(y) b2 = bccos(a) + abcos(y) 将两式相加：



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a2 = accos(^) + abcos(卩)+ be cos(a) + ab cos (y) a2 -t-b2 = [ac cos ) + ccos (a)]十[ab cos (y) + abcos (y)] a7 rb2 = c2 十 2a/?cos(y)

以=/ + 以 -2«bcos(刃 向量证明

AABC中，AB=C> BC = ^ AC = ^

|BC|2 = BC-BC

二(必_屈)皿_砌

|BC|2 = |AC|2 +

|AB|2 |BC| =|AC

2

-2AB・尼 -2 /ifi| |AC|COSA a1 = i?2 + c2 - 2bccosA

『+

正弦定理和余弦定理 正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

(1) 已知三角形的两角与一边，解三角形

(2) 已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 (3) 运用a： b: c=sinA: sinB: sinC解决角之间的转换关系

直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

余弦定理

是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹 角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以交形并适当移于其

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