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★二次函数知识点汇总★
1.定义:一般地,如果y =ax2 + bx + c(a, b, c是常数, a 0) ,那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y = ax2的性质
(1)抛物线y = ax2(a 0)的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.(2)函数y = ax 2的图像与a的符号 关系.
① 当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点;②当a 0时抛物线开口向下顶点为 其最高点
3.二次函数 y = ax2 + bx + c的图像是对称轴平行于(包括重合) y 轴的抛物线. 4. 二次函数y = ax2 + bx + c 用 配 方 法 可 化成 : y=a(x-h)2+k 的形式,其中 b
h = - ,k = 2a
4a
4 ac - b 2
5. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式: ①y=ax2;②y=ax2 +k;③y=a(x-h)2;④y=a(x-h)2+k;⑤y=ax2 +bx+c.
6. 抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
①a决定抛物线的开口方向: 当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;a 相等,抛物线的开口大小、形状相同. ② 平行于y轴(或重合)的直线记作x = h .特别地, y轴记作直线x =0.
7. 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口 方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1) 公式法: y = ax2 + bx + c = a
b x =- . 2a
x + b
,∴顶点是(- b ,4ac - b ),对称轴是直线
2 a 4 a 2 a 4 a
+
4ac-b
(2) 配方法:运用配方法将抛物线的解析式化为y=a(x-h)2 + k的形式,得到顶点为(h ,k ),对称
轴 是x = h .
(3) 运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的 垂
直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★ 9.抛物线 y = ax2 +bx+c 中,a,b,c的作用
(1) a决定开口方向及开口大小,这与y = ax 2中的a完全一样.
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y = ax2 + bx + c的对称轴是直线x = - b ,故:
2a
①b = 0时,对称轴为y轴;② b
a
a
0 (即a 、b同号)时,对称轴在y轴左侧;
③ b 0(即a 、b异号)时,对称轴在y 轴右侧.
(3)c的大小决定抛物线y = ax2 + bx + c与y轴交点的位置. 当x=0时,y=c,∴抛物线y=ax2 + bx
+ c与y轴有且只有一个交点(0, c ): ①c = 0 ,抛物线经过原点; ②c 0 ,与y轴交于正半轴;③ c 0 ,与y轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则 b 0.
a
10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式 开口方向 对称轴
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顶点坐标
y = ax 2 y = ax 2 + k
y = a ( x - h )2
x = 0( y 轴) x = 0( y 轴)
(0,0) (0, k ) (h,0) (h,k)
当a 0时 开口向
x=h
上 当a 0时 开
y = a( x - h )2 + k 口向下 x=h
2
y = ax + bx + c
11. 用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式: y = ax2 + bx + c .已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常选择一般式. (2)
顶点式: y = a(x - h)2 + k .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3)交点式:
已知图像与x轴的交点坐标x1、 x2 ,通常选用交点式: y =a(x-x1)(x-x2). 12. 直线与抛物线的交点
(1) y 轴与抛物线 y = ax2 +bx+c得交点为(0,c )
(2)与y轴平行的直线x = h与抛物线y = ax 2 + bx + c有且只有一个交点( h , ah 2 +bh+c). (3) 抛物线与x 轴的交点
二次函数 y = ax2 + bx + c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1 、x2 ,是对应一元二次方程 ax2 +bx+c = 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判 别式判定: ①有两个交点 0 抛物线与x轴相交;
②有一个交点(顶点在x轴上) =0抛物线与x轴相切; ③没有交点 0 抛物线与x轴相离. (4) 平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有 0个交点、1个交点、2个交点.当有2 个交点时,两交点的纵坐标相等,
设纵坐标为k ,则横坐标是ax 2 + bx + c = k的两个实数根.
(5)一次函数y = kx+ n(k 0)的图像l与二次函数y = ax2 + bx + c(a 0)的图像G的交点,由方 程组
y =kx+n
的解的数目来确定:
y = ax2 +bx+c
b x=-
2a
b 4ac - b 2 ( - , ) 2a 4a
①方程组有两组不同的解时 l与G 有两个交点;
②方程组只有一组解时 l与G只有一个交点;③方程组无解时 l与G没有交点. (6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线 y=ax2+bx+c与x轴两交点为 bc
A(x1,0),B(x2,0),由于x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根,故 x1+x2=- ,x1x2 =
4c b 2 - 4ac a a a
13.二次函数与一元二次方程的关系:
(1)一元二次方程y = ax2 + bx + c就是二次函数y = ax2 + bx + c当函数y的值为0时的情况. (2)二次函数y = ax2 + bx + c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交
点、 没有交点;当二次函数y = ax2 + bx + c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y = 0 时自变量x的值,即一元二次方程ax2 +bx+c=0的根.
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