2014年北京大学夏令营数学试卷-学生用卷

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2014年北京大学夏令营数学试卷-学生用卷

一、文科考生做前5题，理科考生做后5题

1、【来源】 2014年北京北京大学自主招生夏令营第1题 设关于的方程

在区间

内有根，求实数的取值范围．



2、【来源】 2014年北京北京大学自主招生夏令营第2题 设，，满足

，为任意自然数，求

的值．



3、【来源】 2014年北京北京大学自主招生夏令营第3题 高三上学期单元测试《三角函数与恒等变换》自招第14题

证明：若为自然数，为实数且，则．



4、【来源】 2014年北京北京大学自主招生夏令营第4题 一个等腰梯形的腰和一个底的长分别为

和，求这个梯形面积的最大值．



5、【来源】 2014年北京北京大学自主招生夏令营第5题 高二下学期单元测试《不定方程》自招第8题 求出所有实数，使得

与

同时为整数．



6、【来源】 2014年北京北京大学自主招生夏令营第6题 顶点为的等腰三角形

的

的平分线交

于，已知

，求

的度数．



7、【来源】 2014年北京北京大学自主招生夏令营第7题

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设是实数，方程有个正根，证明，并且等号成立当且

仅当这个正根相等．



1 、【答案】 ;

2 、【答案】 ;

3 、【答案】 证明见解析． ;

4 、【答案】 ;

5 、【答案】 ;

6 、【答案】 ;

7 、【答案】 证明见解析． ;

．

．

．



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