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2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
数学（理科数学）
第1卷
一、 选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。 1． 若复z=（x-1）-(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为 A.-1 B.0 C.1 D.-1或1 2．函数y
1n(x1)x3x4
2
的定义域为
A．（-4，-1） B. (-4 , 1) C. (-1, 1) D. (-1, 1］
3. 已知全集U=AB中有m个元素，（CUA）（CUB）中有n个元素。若AB非空，则AB的元素个数为
A．mn B. m+n C. n-m D. m-n 4．若函数f(x)=（1+ A．1 B. 2 C.
3tanx）cos, 0x＜
3+2
2
,则f(x)的最大值为
3+1 D.
5. 设函数f(x)= g(x)+ x2，曲线y=g(x)在点（1，g(1)）处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率为 A．4 B. -
xa
22
14
C. 2 D. - yb
22
12
6．过椭圆
=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，
0
若F1PF2=60，则椭圆的离心率为
A．
22
B.
n
33
C.
12
D.
13
7 (1+a+b)展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为为32，则a，b，n的只可能为
A a=2 b=-1 n=5 B a=-2 b=-1 n=6
C a=-1 b=2 n=6 D a=1 b=2 n=5
22n2n
sin)，其前n项和为Sn，则为 8 数列{ an} 的通项ann(cos
3
3
A 470 B 490 C 495 D 510
9 如图，正四面体ABCD的顶点A1B1C1分别在两两垂直的 三条射线Ox,Oy，Oz上，则
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1
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在下列命题中，错误的为 A OABC正三棱柱 B 直线OB//平面ACD C 直线AD与OB所成的角是450 D 二面角DOBA为450
10为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机状如一张卡片，集齐3种卡片可兑换，先购买该食品5袋，能获奖的概率为 A
3181
B
381
C
4881
D
5081
11一个平面封面区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周律”下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右一次记为r1,r2,r3,r4, 则下列关系正确的为
A．r1＞r4＞r3 B. r3＞r1＞r2 C. r4＞r2＞r3 D. r4＞r3＞ r1
12．设函数f(x)=axbxc（a＜0）的定义域为D，若所有点（s,f(t)）,(s,tD)构成一个正方形区域，则a的则值为 A．-2 B. -4 C. -8 D. 不能确定
第II卷
填空题，本大题4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题卡上。
13、已知向量a=（3，1） ，b =（1，3），c=（k，7）,若（a - c）// b,则k = . 14、正三棱柱ABC -A1B1C1内接予半径为2的球，若A , B 两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 。 15、若不等式9x2k(x2)
2的解集为区间【a , b】,且b –a=2 , 则k=
2
16、设直线系M1xcos(y2)sin1(02) ，对于下列四个命题： A M中所有直线均经过一个定点
B 存在定点P不在M中的任一条直线上
C 对于任意整数n (n≥3)，存在正n 边形，其所有边均在M中的直线上 D M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）
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2
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三.解答题：本小题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）
设函数f(x)
e
x
x
（1）求函数f(x)的单调区间
（2）若k>0，求不等式>f'(x)k(1x)f(x)0的解集。 18．(本小题满分12分)
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审，假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是
12
，若某人获得两个“支持”，
则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令表示该公司的资助总额。 （1）写出的分布列；（2）求数学期望E。
19.（本小题满分12分）
ABC中，A,B,C所对的边分别为a, b, c, tanC=
sinAsinBcosAcosB
,sin(B-A)=cos C
(1) 求A, C
(2) 若sABC=3+3,求a, c.
20.（本小题满分12分）
在四棱锥P-ABCD中ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以AC为中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N。 （1） 求证：平面ABM平面PCD；
（2） 求直线CD与平面ACM所夹的角的大小； （3） 求点N到平面ACM的距离。
21．（本小题满分12分） 已知点P1(x0,y0)为双曲线
x
22
8b
yb
22
1(b为正常数）上任一点F2为双曲线的右焦
3
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点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连接F2A并延长交y轴于点P2。 （1） 求线段P1P2的中点P的轨迹F的方程；
（2） 设轨迹E与x轴交于B，D两点，在E上任取一点Q(x1,y1)(y0),直线
QB，QD分别交于y轴于M，N两点。求证：以MN为直径的圆过两定点。
22、(本小题满分14分)
a1 = a , a2 = b ,且对满足m+n=p+q 的正整数m，各项均为正数的数列{an} ，n， p ，q 都
有
aman
(1am)(1an
12
)
45
apaq(a1p
)a(1q
)
（1）当a，b
时，求通过an ；
1
an
（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数，使得对于每一个正整数n，都有
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2022-07-07
