高中数学追本溯源—用定义解题专题辅导

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高中数学追本溯源—用定义解题

追本溯源，也就是同学们常说的回归定义。定义常常是解决问题的犀利武器。我们在学习圆锥曲线内容时，不仅要领悟其概念的实质，而且要强化应用定义解题的意识，在解题中进行灵活运用。

x2y2

例1 已知点P在椭圆221(ab0)上，椭圆焦点为F1、F2，过点F2作∠F1PF2

ab

补角的平分线的垂线，垂足为M，求点M的轨迹方程。

分析：若直接设点M（x，y），寻求关系式求轨迹方程则非常困难，若能利用平面几何的知识，采用“追本溯源”的策略，结合圆与椭圆的定义，问题就可迎刃而解。

解：分别延长F2M、F1P，设其交点为N（如下图）

yPF1O

F2

NM

x



∵PM平分∠F2PN，PM⊥F2M

∴PM是F2N的垂直平分线，|F2M|=|MN|，|F2P|=|PN|。 ∵|OF1|=|OF2|

∴OM是△F1F2N的中位线。

111

|F1N|(|F1P||PN|)(|F1P||F2P|)a 222

222

∴点M的轨迹方程为xya(xa)。 |OM|



例2 过原点的椭圆的一个焦点为F1（1，0），长轴长为4，求椭圆中心的轨迹。

分析：此题看似简单，却是一道颇费思量的题目，当题中条件不易直接得出结论时，回归定义，“追本溯源”是最好的办法。

解：设椭圆中心为M（x，y），由于椭圆的一个焦点为F1（1，0），则椭圆的另一个焦点为F2（2x－1，2y），再由椭圆的定义知|OF1||OF2|4，即1(2x1)2(2y)24，

即x



192

）。 y（除去点（－1，0）

24

2

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