概率论的起源

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概率论的起源及公理化



概率论起源于博奕问题。15至16世纪意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题。1654年左右，费马与帕斯卡在一系列通信中讨论类似的合理分配赌金的问题，并用组合的方法给出了正确的解答。他们的通信引起了荷兰数学家惠更斯（，1629―1695）的兴趣。惠更斯在1657年发表了《论赌博中的计算》，这本书成为了最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理），标志着概率论的诞生。一般认为，概率论作为一门独立的数学分支，其真正的奠基人是雅各布?伯努利.他在遗著《猜测术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：若在一系列独立试验中，事件A发生的概率为常数且等于p，那么对任意ε>0以及充分大的试验次数n,有

m

P{| - p|<ε}>1-η(η为任意小的正数)，

n

其中m为n次试验中事件A出现的次数。伯努利定理刻画了大量经验观测中频率呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位。 伯努利之后，棣莫弗（，1667―1754）、蒲丰（，1707―1788）、拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步的奠基性的贡献。其中棣莫弗和高斯各自独立地引进了正态分布，蒲丰提出了投针问题和几何概率，泊松陈述了泊松大数定律。特别是拉普拉斯1812年出版的《概率的分析理论》，以强有力的分析工具处理概率论的基本内容，使以往零散的结果系统化，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期。正是在这部书里，拉普拉斯给出了概率的古典定义：事件A的概率P(A)等于一次试验中有利于事件A的可能的结果数与该试验中所有可能的结果数之比。

19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫在这方面做出了重要贡献，他在1866年建立了关于随机变量序列的大数定律，使伯努利定理和泊松大数定律成为其特例。切比雪夫还将棣莫弗―拉普拉斯极限定理推广为更一般的中心极限定理，他的成果后来被他的学生马尔可夫等发扬光大。


19世纪末，概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要。同时，科学家们发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处。1899年法国学者贝特朗提出了著名的“贝特朗悖论”：在半径为r的圆内随机选择弦，计算弦长超过圆内接正三角形边长的概率。根据“随机选择”的不同意义，可以得到不同答案。

r

（1） 如图5（Ⅰ）,考虑与某确定方向平行的弦，则弦心距小于的弦长大于

2

1； 2

1； 3

圆内接正三角形边长，大于圆内接正三角形边长的弦的中点的轨迹的长度为r，是直径的一半，所求概率为

（2） 如图5（Ⅱ）,考虑从圆上某固定点P引出的弦，则所求概率为

（3） 如图5（Ⅲ）,随机的意义理解为：弦的中点落在圆的某个部分的概率与

r

该部分的面积成正比，因为长度大于圆内接正三角形边长的弦的中点落在半径为

21

的同心圆内，因此所求概率为。

4





图5

这类悖论说明概率的概念是以某种确定的实验为前提的，这种试验有时由问题本身所明确规定，有时则不然.这些悖论的矛头直指概率概念本身，特别地，拉普拉斯的古典概率定义开始受到猛烈批评。此时，无论是概率论的实际应用还是其自身发展，都要求对概率论的逻辑基础作出更严格的考察。

俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯?米西斯最早尝试对概率论进行严格化，

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