2014CMO数学竞赛

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高中数学 奥林匹克 探索数学学习本源 研究数学思想方法 关注数学发展动态 拓展数学学习视野 业精于勤 行成于思

第第2929届中国数学奥林匹克届中国数学奥林匹克

江苏 南京 第一天

(2013年12月21日 8:00−12:30)

1.如图1,在锐角△ABC中,AB>AC,∠BAC的平分线与边BC交于点D,点E、F分别在边

AB、AC上,使得B、C、F、E四点共圆.证明: △DEF的外接圆圆心与△ABC的内切圆圆心重合的充 分必要条件是BE+CF =BC.

A





E

F

B D C

图1

2.对大于1的整数n,定义集合

D(n)={a−b|n=ab,a,b为正整数,a>b}.

证明:对任意大于 n1,n2,···,nk,使得



1的整数



k,总存在

k个互不相同且大于

1的整数

D(n1)∩

D(n2)∩···∩D(nk)的元素个数不小于2.

3.证明:存在唯一的函数f :N∗→N∗满足

f(1)=f(2)=1,

f(n)=f f(n−1) +f n−f(n−1) , n=3,4,···,

( ) ( ) 并对每个整数m⩾2,求f(2m)的值.

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高中数学 奥林匹克 探索数学学习本源 研究数学思想方法 关注数学发展动态 拓展数学学习视野 业精于勤 行成于思

第第2929届中国数学奥林匹克届中国数学奥林匹克

江苏 南京 第二天

(2013年12月22日 8:00−12:30)

4.对整数n>1,设n=p ··p l是n的标准分解式.定义 1 ·l

ω(n)=l, Ω(n)=α1+···+αl.

是否对任意给定的正整数k及正实数α,β,总存在整数n>1,使得

ω(n+k) >α, Ω(n+k) <β?

ω(n) Ω(n)

证明你的结论.

5.设集合X={1,2,···,100},函数f :X→X同时满足 (1)对任意x∈X,都有f(x)=x;

(2)对X的任意一个40元子集A,都有A∩f(A)=∅.

求最小的正整数k,使得对任意满足上述条件的函数f,都存在X的k元子集B,使得B∪f(B)=X.

注:对X的子集T,定义f(T)={x|存在t∈T,使得x=f(t)}. 6.对于非空数集S,T,定义

S+T ={s+t|s∈S,t∈T}, 2S={2x|x∈S},

设n为正整数,A,B均为{1,2,···,n}的非空子集.证明:存在A+B的子集D,使得

D+D⊆2(A+B),且|D|⩾ |A|·|B|.

2n

这里|X|表示有限集X的元素个数.

α

1



α

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