抽屉原理例题

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抽屉原理

抽屉原理在小学数学教材中没有作为知识向同学们介绍，但它却是我们解决数学问题的一种重要的思考方法。

抽屉原理最早是由德国数学家狄利克雷最早发现的，所以也叫做狄利克雷重叠原则。 下面我们就一起来研究“抽屉原理”。

【典型例题】

1. 第一抽屉原理：把个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有个物体。

例如：把3个苹果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中有2个苹果。

2. 若把5个苹果放到6个抽屉中，就必然有一个抽屉是空着的。这称为第二抽屉原理：把个物体放在n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有个物体。

3. 构造抽屉的方法：

在我们利用抽屉原理思想解决数学问题时，关键是怎样把题目中的数量相对应的想成苹果和抽屉，所以构造“抽屉”是解题的关键。下面我们就通过例题介绍常见的构造“抽屉”的思想方法。

例1. 用“数的分组法”构造抽屉。

从1，2，3，……，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定有：（1）2个数互质；（2）2个数的差为50；（3）8个数，它们的最大公约数大于1。 分析与解答：

（1）将100个数分成50组

{1，2}，{3，4}，……，{99，100}。

在选出的51个数中，一定有2个数属于同一组，这一组的2个数是相邻的整数，它们一定是互质的。

（2）我们可以将100个数分成下面这样的50组： {1，51}，{2，52}，……，{50，100}。

在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组的2个数的差为50。 （3）将100个数分成5组（一个数可以在不同的组内）： 第一组：2的倍数，即{2，4，……，100}； 第二组：3的倍数，即{3，6，……，99}； 第三组：5的倍数，即{5，10，……，100}； 第四组：7的倍数，即{7，14，……，98}；

第五组：1和大于7的质数，即{1，11，13，……，97}。

第五组中一共有22个数，所以选出的51个数中至少有29个数在第一组到第四组中，根据抽屉可以知道总会有8个数在第一组到第四组的某一组中，这8个数的最大公约数大于1。

例2. 用“染色分类法”构造抽屉。

下表是一个3行10列共30个小正方形的长方形，现在把每个小方格添上红色或黄色，请证明无论怎么添法一定能找到两例，它们的添色方式完全相同。



分析与解答：




因为每一列有三格，用两种颜色去涂3个方格，我们经过实验就可以看出有8种不同的涂法。

现在我们可以把这8种涂法看做8只“抽屉”，把10列方格看做10个苹果，把10列放入8只抽屉中，由抽屉原理，至少有一只抽屉有两个相同的元素，即至少有两列涂色方式完全相同。



例3. 口袋中有红、黑、白球各若干个，它们的外形与重量都一样，至少拿出几个球，才能保证有六个颜色相同的球？ 分析与解答：

这道题中我们可以设这三种颜色为三个抽屉。要想保证有6个相同颜色的球，可以看作一个抽屉中有6个苹果。这就必须先保证每种颜色各有5个，再加上任意颜色的一个球，就可以保证有同种颜色的6个球。所以至少要拿出个球，才能保证有六个颜色相同的球。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 某班37名同学，至少有几个同学在同一个月过生日？

2. 42只鸽子飞进5个笼子里，可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子？

3. 口袋中有红、黑、白、黄球各10个，它们的外型与重量都一样，至少要摸出几个球，才能保证有4个颜色相同的球？

4. 饲养员给10只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子得到7个苹果，饲养员至少要拿来多少个苹果？

5. 从13个自然数中，一定可以找到两个数，它们的差是12的倍数。

6. 一个班有40名同学，现在有课外书125本。把这些书分给同学，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？

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