《余弦定理》教案

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1.1.2余弦定理

教学目标：

1．掌握余弦定理，理解证明余弦定理的过程； 2．使学生能初步使用它解斜三角形。

教学重点：

余弦定理的证明， 余弦定理的应用。 教学过程 一、复习引入：

1． 复习正弦定理及其证明 2． 复习正弦定理的应用

二、讲解新课： 1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

b2c2a2

即 abc2bccosAcosA

2bc

2

2

2

c2a2b2

bca2accosBcosB

2ca

2

2

2

a2b2c2

cab2abcosCcosC

2ab

2

2

2

推导过程：

如图在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b

∵ACABBC

∴AC•AC(ABBC)•(ABBC)

C

b

A

2

a

c

B

AB2AB•BCBC

AB2|AB|•|BC|cos(180B)BC

2

22

c22accosBa2

222

即bca2accosB

222222

同理可证 abc2bccosA，cab2abcosC

方法2：以顶点A为原点，射线AC为x轴正半轴建立直角坐标系




。

由两点的距离公式有：

两边平方，得 同理可证另两式

2、正弦定理、余弦定理与射影定理：

O为ΔABC的外接圆圆心，皆得 sin∠BAC＝sin（90－∠OBC）＝cos∠OBC 。 A

A

b

O a

C

o

o

c

o

A

c a O

b C

c

B

O a

b C

B

B



（A1）在ΔOBC中，利用射影定理： BC＝BOcos∠OBC＋COcos∠OCB ＝2Rcos∠OBC （A2）在ΔOBC中，利用余弦定理：BC2＝BO2＋CO2－2BOCOcos∠BOC＝4R2cos2∠OBC

∵ ∠OBC必为锐角 ∴ BC＝2Rcos∠OBC

由上可知：在ΔABC中，

BCa2RcosOBC＝＝＝2R sinAsinBACcosOBC

同理：

bc

＝2R；＝2R sinBsinC

故可利用射影定理或余弦定理证得正弦定理。

b2c2a2a2c2b2

另：先將余弦定理转化如右：cosA＝ ；cosB＝ ；

2bc2ac

a2b2c2

cosC＝

2ab

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