考研数学-复旦大学2001年高等代数解答

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复旦大学高等代数2001

1002

1．（１０分）设A0001.求三阶可逆阵P，四阶可逆阵Q使

30001000



AP0100Q．

0000

解：利用行列式的行列变换法：（行变换）

1001002120100012001000010100001，从而P010 00130003610000361



100

（列变换）

1000

00000000100100

01100001000010

00100000000110

0

10



00，从而Q

00



1000

000



001



010



100

２．（１０分）设A

15

．求非零整数x,y使x516x

yAy0．



解：不妨令

x

t，则解t210t160得t2,8 y

从而k

xy2x8

或者k，其中的kZ\{0} 1y1

３．（２０分）记MnR为由所有的n阶实方阵在通常的运算下形成的向量空间．记S为所有的n阶实对称方阵所构成的集合，T为所有的n阶实反对称方阵所构成的集合． （１） 求证S,T都是MnR的子空间；

（２） 将MnR中两个元素(aij)和(bij)的内积定义为

ab

ij

i1j1

nn

ij

，这样MnR就成为内

积空间．求证在这个内积空间中S和T互为正交补．

证明：（1）显然是成立的，利用子空间的判别法显然就成立了，免证




（２） 找出S,T的基，Eij(ekr),ekr

0,(k,r)(i,j)

，像这样的构

1,(k,r)(i,j),或者(k,r)(j,i)

0,(k,r)(i,j)

成S的基，Dij(vkr),vkr1,(k,r)(i,j)像这样的构成T的基

1,(k,r)(j,i)

而显然容易知道(Eij,Dpr)0，从而就知道了S与T互为正交的，又结合我在00年高代中的解答显然知道STV，进而就知道是正交互补了。

４．（２０分）设K,F,E都是数域，满足KFE．则在通常的运算下F和E是数域K上的向量空间，E又是数域F上的向量空间．假定作为K上的向量空间F是有限维的，作为F上的向量空间E是有限维的，求证作为K上的向量空间E是有限维的．

r

证明：F{kii:i是F在K的基}，E{kjiii:i是E在F的基}

i1j1i1

r

s

sr

r

因为条件所以可以知道s,r是有限的，kjiiikjiii，所有的ij就构成

j1i1j1i1

s

了E在K上的基，显然维数是有限的，从而命题就获得了证明了。

５．（２０分）问下列两个方阵是否相似，说明理由．

10



0100

00001

001

,011

0010



111

.

000



010

00

答：显然容易知道它们的秩是相同的。然后可以结合求矩阵的特征值，然后看它们的特征值

都是不是一样的，如果不一样，就说明不相似，然后如果相同就结合每个特征值求对应的向量空间是否有相同的维数，如果也具有，那么就相似，如果不具有就说明不相似，这个题目我就不想去计算了，这样做是肯定可以做出来的！

６．（１０分）设A是秩为r的mn矩阵．求证必存在秩为nr的n(nr)矩阵使

AB0．

证明：Ax0有nr个线性无关的解，把这些无关解组成的n(nr)矩阵就是符合命题的矩阵了，自然就有命题成立的 ７．（１０分）设A是一个n阶实方阵满足A'A．设是A的一个特征值．求证的实部等于零．

证明：显然是AA'A的特征值，从而存在在复数域上存在n个特征值

2

且都为实数，因为AA'A是对称矩阵，从而有cR，自然就知道了的实部等

2

2

2

于零．所以命题获得了证明。

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