国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第5届)

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国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第5届）

1. 找出下列方程的所有实数根（其中 p是实参数）：



(x2p)2(x21)x.

2. 给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足 角APX是直角，试求出所有这样的点P的轨迹．

3. 在一个 n边形中，所有内角都相等，边长依次是

a1 ≥a2≥ ... ≥an，

求证：所有边长都相等．

4. 设 y是一个参数，试找出方程组 xi + xi+2 = y xi+1 (i = 1， ... ， 5)的所有解 x1， ... ， x5． 5. 求证

cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2.

6. 五个同学A、B、C、D、E参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE．但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，C、D两位同学名次不是(1，2)、(2，3)、(3，4)、(4，5)中的任何一种）．还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序．实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连．试讨论最后的名次如何？

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