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排列组合问题的几种巧解方法
排列组合应用问题是历年高考必考题目，因其内容比较抽象、题型繁多、灵活多变、解题方法独特，与学生原有解题经验甚不相同，而成为高中数学教学的一个难点。但只要我们认真审题，明确题目属于排列还是组合问题，或是排组混合问题，抓住问题本质特征，把握基本思想，灵活应用基本原理，注意讲究一些基本策略和方法技巧，善于分类讨论，适当转化，就能开拓思路，化难为易，使问题迎刃而解。求解排列组合问题除了掌握两个基本原理(加法原理和乘法原理)外，没有现成的方法可套，只能根据具体问题灵活采用各种技巧。本文就此通过一些实例介绍一下解决此类问题的一些常见的技巧。
一、对等法。在有些问题中，某种限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一，在求解中只要求出全体，就可以得到所求。例如：期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序？
分析：对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况，能够得到全体，那么问题就可以解决了。并且也避免了问题的复杂性。
解：不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有 种。
二、插入法。对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法，即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素后的空档之中即可。例如：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法?
分析：此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。所涉及问题是排列问题。
解：先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有 种选法。根据乘法原理，共有的不同坐法为 种。
三、排除法。有些问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中排除。例如：某班有43位同学，从中任抽5人参加社会实践，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
分析：此题若是直接去考虑的话，就要将问题分成好几种情况，解题时容易造成各种情况遗漏或者重复的情况。而如果从此问题相反的方面去考虑的话，不但容易理解，而且在计算中也非常简便。
解：43人中任抽5人的方法有 种，正副班长，团支部书记都不在内的抽法有种，所以正副班长，团支部书记至少有1人在内的抽法有－ 种。
四、捆绑法。要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题，即将需要相邻的元素合并看作一个元素，再与其它元素一起排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。例如：5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法?
分析：此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此，女生是特殊元素。由于要求她们要相邻，因此可以将她们合并看成一个元素来解。
解：因为女生要排在一起，所以可以将3个女生合并看成是一个人，与5个男生作全排列，有 种排法，而女生内部也有种排法，根据乘法原理，共有种不同的排法。
五、转化法。对于某些较复杂的或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的、具体的问题来求解。例如：高二年级8个班，组织一个由12个人组成的年级学生分会，每班要求至少1人，名额分配方案有多少种?
分析：此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。但如果我们将其转换为等价的其他问题，就会显得比较清楚，方法简单，结果容易理解。
解：此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份，有多少种不同的分法问题，因此可把这12个白球排成一排，在11个空档中放上7个相同的黑球，每个空档最多放一个，即可将白球分成8份，显然有种不同的放法，所以名额分配方案有种。
六、剩余法。在组合问题中，一个组合对应一个剩余元素的组合，它们是一一对应的，因此，当直接求组合数困难时，可转化为求剩余元素的组合数。例如：袋中有5分硬币23个，1角硬币10个，如果从袋中取出2元钱，有多少种取法?
分析：此题是一个组合问题，若是直接考虑取钱的问题的话，情况比较多，也显得比较凌乱，难以理出头绪来。但是如果根据组合数性质考虑剩余元素的组合的话，就会很容易解决问题。
解：所有的硬币全部取出来，将得到0.05×23+0.10×10=2.15元，所以比2元多0.15元，所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角，所以共有+ ·
种取法。
以上是我们解决排列组合应用题的一些技巧，对于不同的题目，根据它们的条件，我们就可以选取不同的方法来解决问题。对于一些比较复杂的问题，我们
可以将几种技巧结合起来灵活应用，以便我们迅速准确地解决问题。
本文来源：https://www.wddqxz.cn/36edef445bfafab069dc5022aaea998fcd22404c.html
2022-04-16
