等比数列的前n项和公式的几种推导方法

2023-05-07 15:03:36   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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赏析等比数列的前n项和公式的几种推导方法

山东 张吉林(山东省莱州五中 邮编261423

等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一,其公式:

aanqa1(1qn)

q1时,Sn Sn1

1q1q

q=1时,Snna1

本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想,而且用以推导等比数列前n项和公式的方法---错位

相减法,更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维,从不同的角度加以推导,以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。

一般地,设等比数列a1,a2,a3,

an

它的前n项和是

Sna1a2a3an

公式的推导方法一:

Sna1a2a3an

q1时,由 n1

ana1q

2n2n1

Sna1a1qa1qa1qa1q

23n1n

qSna1qa1qa1qa1qa1q

(1q)Sna1a1qn

aanqa1(1qn)∴当q1时,Sn Sn1

1q1q

q=1时,Snna1

当已知a1, q, n 时常用公式①;当已知a1, q, an时,常用公式②.

拓展延伸:若an是等差数列,bn是等比数列,对形如anbn的数列,可以用错位相减法求和。

2

例题 数列an的前n项和Snn(n1)2(n2)2

22n22n1,则

Sn的表达式为(

n1n

ASn22n2 n

CSn2n2



n1

BSn2n2 n1

DSn2n2



2

解析:由Snn(n1)2(n2)2

22n22n1,①


23

可得2Sn2n(n1)2(n2)2

22n12n,②

②-①,得Sn22

2

2

n1

2(12n)

2nn2n1n2,故选(D

12

n

点评这个脱胎于课本中等比数列前n项公式推导方法的求和法,高考中命题率很高的地方,应予以高度的重视。 公式的推导方法二:

q1时,由等比数列的定义得,

aa2a3

nq a1a2an1

根据等比的性质,有

a2a3anSa1

nq

a1a2an1Snan



Sna1

q(1q)Sna1anq

Snan

aanqa1(1qn)

∴当q1时,Sn Sn1

1q1q

q=1时,Snna1

该推导方法围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比的性质,导出了公式,给我们以耳目一新的另类感觉。

导后反思:定义是基础,深刻理解定义,灵活地运用好定义,往往能得到一些很有价值的

结论和规律。例如等比数列的一个常用性质:

已知数列an是等比数列q1Sn是其前n项的和,SkS2kSkS3kS2k…,仍成等比数列。其推导过程可有以下两种常见的证明过程:

证明一:1)当q=1时,结论显然成立;

2)当q1时, Sk

a11qk1qa11qk1q

,S2k

a11q2k1q



,S3k

a11q3k1q



S2kSk

a11q2k1q



a1qk1qk1q

S3kS2k

a11q3k1q

2



a11q2k1q

2

a1q2k1qk1q



S2kSk

a12q2k1qk(1q)2a11qka1q2k1qk

Sk(S3kS2k)

1q1q


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