等比数列的前n项和公式的几种推导方法

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赏析等比数列的前n项和公式的几种推导方法

山东 张吉林（山东省莱州五中 邮编261423）

等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一，其公式：

aanqa1(1qn)

当q1时，Sn ① 或Sn1 ②

1q1q

当q=1时，Snna1

本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想，而且用以推导等比数列前n项和公式的方法---错位

相减法，更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维，从不同的角度加以推导，以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。

一般地，设等比数列a1,a2,a3,

an

它的前n项和是

Sna1a2a3an

公式的推导方法一：

Sna1a2a3an

当q1时，由 n1

ana1q

2n2n1

Sna1a1qa1qa1qa1q得

23n1n

qSna1qa1qa1qa1qa1q

(1q)Sna1a1qn

aanqa1(1qn)∴当q1时，Sn ① 或Sn1 ②

1q1q

当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时常用公式①；当已知a1, q, an时，常用公式②.

拓展延伸：若an是等差数列，bn是等比数列，对形如anbn的数列，可以用错位相减法求和。

2

例题 数列an的前n项和Snn(n1)2(n2)2

22n22n1，则

Sn的表达式为（ ）．

n1n

A．Sn22n2 n

C．Sn2n2



n1

B．Sn2n2 n1

D．Sn2n2



2

解析：由Snn(n1)2(n2)2

22n22n1，①


23

可得2Sn2n(n1)2(n2)2

22n12n，②

②－①，得Sn22

2

2

n1

2(12n)

2nn2n1n2，故选（D）．

12

n

点评：这个脱胎于课本中等比数列前n项公式推导方法的求和法，是高考中命题率很高的地方，应予以高度的重视。 公式的推导方法二：

当q1时，由等比数列的定义得，

aa2a3

nq a1a2an1

根据等比的性质，有

a2a3anSa1

nq

a1a2an1Snan

即

Sna1

q(1q)Sna1anq

Snan

aanqa1(1qn)

∴当q1时，Sn 或Sn1

1q1q

当q=1时，Snna1

该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比的性质，导出了公式，给我们以耳目一新的另类感觉。

导后反思：定义是基础，深刻理解定义，灵活地运用好定义，往往能得到一些很有价值的

结论和规律。例如等比数列的一个常用性质：

已知数列an是等比数列（q1），Sn是其前n项的和，则Sk，S2kSk，S3kS2k，…，仍成等比数列。其推导过程可有以下两种常见的证明过程：

证明一：（1）当q=1时，结论显然成立；

（2）当q≠1时， Sk

a11qk1qa11qk1q

,S2k

a11q2k1q



,S3k

a11q3k1q



S2kSk

a11q2k1q



a1qk1qk1q

S3kS2k

a11q3k1q

2



a11q2k1q

2

a1q2k1qk1q



S2kSk

a12q2k1qk(1q)2a11qka1q2k1qk

Sk(S3kS2k)

1q1q

本文来源：https://www.wddqxz.cn/36e6e3fa4693daef5ef73d50.html