初三奥林匹克数学竞赛方法思路讲解及经典题型分析 第13套题

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初三奥林匹克数学竞赛

方法思路讲解及经典题型分析

…………第十三节…………

正多边形与圆、三角形的内心及二次函数的极值



1 A、B、C、D是圆内接正七边形顺次相邻的四个顶点，求证：

111 ABACAD



2 AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M、N分别内分AC、CE为定比AM：

AC=CN：CE=m, 如果B，M，N三点共线，求m 。



3 在⊙O中，弧ADB=90度，弦AB=a ,以B为圆心，BA为半径画圆弧交⊙O于另外一点

C，则由两条圆弧所围成的月形（阴影）面积是____。



1




4 证明四点共圆的方法有：1 到一定点等距离的点在同一个圆上；2 同斜边的直角三角

形的各顶点共圆；3 线段同旁张角相等；4 若四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆；5 若四边形的一个外角等于它的内对角，则它的四个顶点共圆；6 四边形ABCD的对角线相交于点P，若PAPCPBPD，则它的四个顶点共圆；7 四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P，若PAPBPCPD，则它的四个顶点共圆。

AB为圆的直径，过A在AB的同侧作弦AP，AQ，交B处的切线于点R，S 。求证：P、Q、S、R四点共圆。



5 在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：4，求证：



111 。 ABACBC



6 ABCD为某一圆的内接四边形，O为AB上一点，以O为圆心的半圆与BC、CD、DA

相切。求证：AD+BC=AB。

2






2

7 是否存在实数k，使得二次方程x+(2k-1)x-(3k+2)=0有两个实数根，且两根都在2与4

之间？若有，求出其取值范围，若没有，说明理由。

8 若a、b、c、d是乘积为1的四个正数，求代数式a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd的最小值。

9 若a、b满足3a5b7，试求S2a3b的取值范围。 10 若x、y为实数，且

1

≤x2+4y2≤2，求x2-2xy+4y2的最大值与最小值。 2

3x26x5

11 求分式的最小值。

12

xx12

12 已知y≤1，且2x+y=1，求u=2x2+16x+3y2的最小值。

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