线性代数与概率统计作业 -枫叶情文明

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一．问答题

1．叙述n阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系。

a11a1n

答：用n2个元素aij（i，j=1，2,3，„，n）组成的记号称为n阶行列式。

aa

nnn1

a22

aa111n

a

D＝=(1)11a1132

aa

nnn1

an2

a23a2na33a3n





an3ann

＋(1)12a12

a21a31

a23a2na33a3n





＋＋(1)1na1n

a21a31an1

a22a2,n1a32a3,n1





an2an,n1



an1an3ann

a22

(1)这里a11

11

a23a2n

a21a23a2n

a21a22a2,n1

a32an2

a31a33a132n

(1)a12，



an1an3anna33a3n1na31a32a3,n1

分别被称为元素a11,a12,„，a1n的余子式记做M11，M12，„,M1n； (，„，1)a1n



an1an2an,n1an3ann

而

a21aa23aa2nanaa22aa2,aa21n1n

a33a33a3na3na32a3,aa31a31a32aaaaa3na3n1212a31a313,n1n1111132323333n1n

(1)(1)a12a12，，„，分别被称为元素a11,a12,„，a1n的代数余子式,记(1)(1)a11a1111)((1)a1na1n



an1an2an2an,aan1an1an1an3an3annannan2an2an3an3annannn1,n1n

做A11，A12，„，A1n

余子式与代数余子式的关系是Aij=(-1)i+jMIJ



2．叙述矩阵的秩的定义。

a22aa23aa2na

n


答：定义：设A为mn矩阵。如果A中不为零的子式最高阶为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作（秩）＝r或R（A）＝r



3．齐次线性方程组的基础解系是什么？

a11x1a12x2a1nxn0axaxax02nn

答：定义：设T是211222的所有解的集合，若T中存在一组非零解1,2,,s,满足

an1x1an2x2annxn0（1）1,2,,s,线性无关；

（2）任意T，都可用1,2,,s,线性表出 则称1,2,,s,是此方程组的一个基础解系



4．试写出条件概率的定义。

答：条件概率的定义： 在事件B发生的条件下事件A发生的概率定义为

P(AB)

P(A|B) (P(B)0).

P(B)



5．试写出全概率公式和贝叶斯公式这两个定理。

答：定理1（全概率公式）设事件A1,A2,,An构成完备事件组，且P(Ai)0(i1,2,,n)，则对任意事件B，有 P(B)PA(iP)B(Ai|. )

i1n


特别地，当n=2时，全概率公式为 P(B)P(A)P(B|A)



二．填空题

1

1

1

P(A)P(. B|A)

1．行列式D111 4 ．

111

2．设A,B均为3阶矩阵，且|A||B|3，则2ABT -72 。

a11x1a12x2a1nxn0axaxax02nn

3．如果齐次线性方程组211222的系数行列式|D|0，那么它有 且只有零 解．

an1x1an2x2annxn04．用消元法解线性方程组AXb，其增广矩阵A经初等行变换后,化为阶梯阵

153

023

A

00s

000

14， t0

则 (1)当s=0且t0时, AXb无解;

(2)当 s=0且 t=0 时, AXb有无穷多解;

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