球体体积公式的推导

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球体体积公式的推导

球体体积公式的推导

1、如图,设球体的球心为O,半径为R,球体体积为V,用垂直于半径 OA的平面将

R

半球分成n个圆柱体,则每个圆柱体的高就是,半径分别为r1、r2、r3、…rn

n



湖北仙桃二中 刘四云





由相交弦定理得 r12 =

RR12

·(2R—) = R2(—2) , nnnn

r22

2R2R2222

2

= ·(2R—) = R(—2) ,,

nnnn

223R3R23

r32 = ·(2R—) = R2(—2),

nnnn

…………………

2

nnRnR2n

rn2 = ·(2R— ) = R2 ·( — 2)

nnnn



R32R32222 R323321

∴V半球 = 兀·(—)+兀·(—2)+兀·(—2)……

nnn2nnnnnn

R32nn2

+兀·( — 2)

nnn

R3222232222n22n1

=兀·(+++……+ —2—2—2—……—2)

nnnnnnnnn




球体体积公式的推导

R3123n122232n2

=兀·(2×—) 2

nnnR31n2n1n1 =兀·〔n + 1—·〕 n6n2

3n112n1n1 =兀R 〔

n —6· =兀R3

·4n23n16n2



=兀R3 ·(

23+12n16n2) 当n趋近于∞时,12n = 0,1

6n2 = 所以V= 兀R3(2

半球 3 + 0 + 0 )

= 2

3兀R3

V4

球体体积 = 兀R33

。





n2

〕

0,

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