浅谈数学解题的检验

2022-12-12 15:03:24 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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浅谈数学解题的检验

解题的正确与否对于解题者来说是最关心的问题，因此解题者，弄清解题检验的必要性，掌握一些解题检验的方法，了解哪些问题需要加以检验尤为重要。在一定意义上说数学解题的检验，是对问题的探讨和回顾，学生加强这方面能力的培养，是对问题更深入的理解，从而对解答正确性的肯定得到进一步加强。以下从两方面来谈一谈数学解题检验这一论题。

一、数学解题检验意义的必要性。

数学解题检验是发展学生的自我纠错能力的前导。学生能够从数学解题的检验中，意识到自己的思维过程中的缺陷，自觉地实行控制，根据解题的需要，灵活运用多种方法和技能进行思维操作，这是提高学生的思维能力的一个重要方面。培养学生从各个不同角度迅速判断解题答案正确性是教师在教学过程中必须时常注意的一个重要环节。

检验，作为某些数学问题解题过程的必不可少的步骤，主要在下列两类问题中产生：

（一）、某些实际应用问题和论域有限制的问题。在这些问题的解题过程中，由于未能顾及原来问题的实际意义或论域的限制，可能引进一些不适合的解答，必须通过检验来决定解答的取舍。

例1.一个杯子里盛满了纯酒精，先倒出7升，然后加满水，再倒出4升，再加满水，这时杯内酒精和水之比为，求杯的容积。

解：设杯的容积为升，依题意列方程：

整理得所以，

检验：由于，从而舍去，所以升。

（二）、在某些方程（如分式方程、三角方程等）、不等式和计算题的解题过程中，由于很难保持变换的等价性，这种情况如果表现为以命题的必要条件代替原命题，就可能导致解集的范围扩大，因此必须通过检验，以便舍去不适合的解。

例2.已知，且，求。

解：由得

又即

检验：因，解都为负值，所以，又，所以，即，故应舍去，所以。

二、对于中学生常用的检验方法有：

（一）、估值法。

通过对问题的实际意义进行估值，常常可以发现一些错误的答案。

例3.求和圆的内接正三角形一边等长的弧的度数。

错解：所求的弧为弧度= 弧度。

通过估值可知和圆的内接正三角形一边等长的弧的度数，应略小于圆的内接正三角形一边所对的圆心角的度数，即略小于，断定答案有误，实际上所列算式与计算弧的度数公式不符，分母应为R，正确答案是。

（二）、特例法。

如果要说明一个判断是假，只要指出这个判断成立的某个必要条件不具备即可。特例法就是从这一思想出发，用适合题意的某个特殊数值或特殊图形来检验答案正确性的一种方法。

例4.数列，-1，，- ，，- ，……的通项是什么？

有A，B，C，D四种答案：A. ，B. ，C. ，D. 。

可用验证A，B，C，D的前三项，对照原数列，A，B，D均不符合，故只有C答案可能正确，进一步验证C答案的正确性。

（三）逆向运算法。

加、减法互为逆运算，加法的运算结果用减法来检验，减法运算的结果用加法来检验。类似地，乘法和除法，乘方和开方等也都可以这样做。

例5.把分解因式。

错解：

其实只要把三个因式相乘便知所乘结果与原式不符，故分解错误。正确分解结果为：。

（四）、多解对比法。

对于一些数学问题，运用多种方法求出其结果，如果所得结果都一致，这就增加了结果正确性的可靠程度；如果所得的结果不一致，当然是指实质而非形式

上的不一致，就说明其中至少存在着错误。

例6.6种不同的文艺书从左至右依次摆在书架上，其中一本书既不能排在头，也不能排在尾，一共有多少种不同的排法？

甲解法：先把头尾排好有种排法，再排其他位置，有种排法，因此，不同的排法共有种。

乙解法：先把其它5本书作全排列，有种排法，再把这本书插入5本书中间的4个间隙处，不同排法共有种。

丙同学解法：先不限定条件，则有种排法，在这排法中，有不符合条件的情况共种排法，故符合条件的排法共有：种。

以上三位同学所提结果不完全相同，经过认真分析考虑，发现丙同学在“不符合条件的情况共种排法”出现思维错误，应为2 种，即共有排法种，这一结果与甲、乙完全一致，更强化了甲、乙解法的正确性。

（五）对称法。

利用题目中的条件、图形、式子的对称性，考虑结论是否符合对称性的要求。

例7.已知满足条件，试判断的形状。

错解：

所以。于是，是以为斜边的直角三角形。

分析：由于题目的条件中，（）与（）是对称的，而上述结论并不满足这样的对称关系，所以答案必定有误。实际上，由（1）可得或，故正确而完善的结论应是：是以为斜边的直角三角形，或者是以为斜边的直角三角形。

注意：以上（一）至（五）各种检验方法，用于错误解答的否定是完全有效的，但用于解答正确性的肯定一般只能增加其可信程度，解答正确性主要基于知识理论水平及解决问题的能力。