数学归纳法经典例题详解

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例1．用数学归纳法证明：

1111n．

2n12n12n1133557

请读者分析下面的证法： 证明：①n=1时，左边

1111，右边，左边=右边，等式成立． 133213

②假设n=k时，等式成立，即：

1111k

．

2k12k12k1133557

那么当n=k+1时，有：

这就是说，当n=k+1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n等式成立．

评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．

正确方法是：当n=k+1时．

这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，

例2．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：

a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)

都成立，并证明你的结论．

分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来{an}，然后再证明一般性． 解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．

a16



， a12a224

a2a3a60

231

解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3．

故存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立．

下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3的自然数，等式

a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．

因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n=k时，等式成立，即

a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)

那么当n=k+1时，

a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1


= k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3] =(k+1)(k+2k+3k+6) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]

这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立．

综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．

2

例3．证明不等式1

12



13



1n

2n (n∈N)．

证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．

左边<右边，不等式成立．

②假设n=k时，不等式成立，即1

12



13



1k

2k

．

那么当n=k+1时，

这就是说，当n=k+1时，不等式成立．

由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立． 说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是

1

12



131



1k



1k1

2k1，当代入归纳假设后，就是要证明：

2k

k1

2k1．

认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 例4．已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an． 求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．

分析：本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法． ①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除． ②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，

a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3

=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =3a4k+2+2a4k+1

由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除． 因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．

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