等比性质推导

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等比性质推导

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为常数列。 （1）定义式：

（2）通项公式（等比数列通项公式通过定义式叠乘而来）： （3）求和公式：

求和公式用文字来描述就是：Sn=首项（1-公比的n次方）/1-公比（公比≠1）如果公比q=1，则等比数列中每项都相等，其通项公式为 ，任意两项 ， 的关系为 ；在运用等比数列的前n项和时，一定要注意讨论公比q是否为1. （4）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：

（5）等比中项： 若 ，那么 为 等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1。

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与


后一项的等比中项。 等比中项公式： 或者 。

（6）无穷递缩等比数列各项和公式：

无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。

（7）由等比数列组成的新的等比数列的公比：{an}是公比为q的等比数列 1.若A=a1+a2+……+an B=an+1+……+a2n C=a2n+1+……a3n

则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=qn 2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2 B=a2+a5+a8+……+a3n-1 C=a3+a6+a9+……+a3n

则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q[2] 。 性质

（1）若m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq。 （2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。 （3）若“G是a、b的等比中项”则“G2=ab（G≠0）”。

（4）若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an×bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。

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