几何图形的阴影部分的面1

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几何图形的阴影部分的面积

求几何图形的阴影部分的面积，一般有两种方法（1）阴影部分是规则图形，可用几何图形的面积公式求解。（2）阴影部分不是规则图形，要把它拼凑成规则的几何图形，再去计算，但这一拼凑或计算也不是太容易。于是我就想找到一种方便的解法，便想到了方程。具体的方法是，可用不同的未知数表示图形中的不同部分的面积，然后根据不同的几何图形的面积建立方程，再通过解方程组而得解。

例一 已知正方形ABCD的边长为a, 以各边为直径向形内作半圆，求 4个叶形的面积 分析 根据图形的对称性，设4个叶形的面积为4x , 4个空白部分的面积为4y ,利用正方形和半圆的面积建立两个方程，再通过解方程组而得解。



解 设 4个叶形的面积为4x , 4个空白部分的面积为y , 依题意得 4x+4y=a2 (1)

1a2

∏（） (2) 22

12

解之得 4x= ∏a -- a2

212

答4个叶形的面积为∏a -- a2

2

2x+y=



例二 已知 如图二，以直角三角形ABC的各边为直径作半圆，求证 S1 + S2 =S△ABC 分析 如图二，可用S1 S2 S△ABC X Y 分别表示图形中的不同部分的面积 ,根据三个半圆的面积得三个方程，然后整理即可。






A

S2Y

S1

X

C

B

例二



证明 如图 设图中两个小弓形的面积分别为X Y,依题意得 S1 +X =

S2 +Y =

S△ABC + X+Y=



1AB2∏( ) (1) 221AC2

∏() (2) 22

1BC2

∏() (3) 22

12

∏AB 812

S2 +Y=∏AC

812

S△ABC +X +Y=∏BC

8

S1 +X=

又∵AB+ AC= BC

∴S1 +X+ S2 +Y= S△ABC +X +Y 即 S1 + S2 =S△ABC

从以上两题可以看出，利用方程思想来解几何图形的阴影部分的面积，会很方便。具体步骤可归结为，一设，二建，三解。设就是用不同的未知数分别表示图形中各个部分的面积，建就是根据不同的图形的面积建立不同的方程，解就是解方程组。 假如选择题或填空题中出现了阴影部分的面积的问题，又不要求步骤，利用这种方法来解，显得会更为方便。



2

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