如图在平面直角坐标系中四边形oabc是平行四边形

2022-04-18 04:00:09 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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如图在平面直角坐标系中四边形oabc是平行四边形

如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C-B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．△MPQ的面积为S．

（1）点C的坐标为，直线l的解析式为．（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．

（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

解：（1）由题意知：点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11.4），且OA=BC，故C点坐标为C（3，4），设直线l的解析式为y=kx，将C点坐标代入y=kx，解得k=4/3 ，

∴直线l的解析式为y=(4/3) x；故答案为：（3，4），y=(4/3) x；

（2）根据题意，得OP=t，AQ=2t．分三种情况讨论： ①当0＜t≤5/2 时，如图1，M点的坐标是（t，4t/3 ）．

过点C作CD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥x轴于E，可得△AEQ∽△ODC， ∴AQ/OC =AE/OD =QE/CD ， ∴2t/5 =AE/3 =QE/4 ， ∴AE=6t/5 ，EQ=8t/5 ，

∴Q点的坐标是（8+6t/5，8t/5）， ∴PE=8+6t/5-t=8+t/5 ，

∴S=1/2 •MP•PE=1/2 •4t/3•(8+t/5)=2t/15 +16t/3，

②当5/2 ＜t≤3时，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F， ∵BQ=2t-5，

∴OF=11-（2t-5）=16-2t， ∴Q点的坐标是（16-2t，4）， ∴PF=16-2t-t=16-3t，

∴S=1/2•MP•PF=1/2 •4t/3•(16-3t)= -2t+32t/3 ，

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③当点Q与点M相遇时，16-2t=t，解得t=16/3 ．

当3＜t＜16/3 时，如图3，MQ=16-2t-t=16-3t，MP=4． S=1/2 •MP•PF=1/2 •4•（16-3t）=-6t+32，

（3）①当0＜t≤5 2 时，S=2t/15 +16t/3=2/15 (t20)2-160/3 ， ∵a=2/15 ＞0，抛物线开口向上，t=5/2 时，最大值为85/6 ； ②当5/2 ＜t≤3时，S=-2t+32t/3=-2(t83)2+128/9 ．

∵a=-2＜0，抛物线开口向下．

∴当t=8/3 时，S有最大值，最大值为128/9 ． ③当3＜t＜16/3 时，S=-6t+32， ∵k=-6＜0．

∴S随t的增大而减小．

又∵当t=3时，S=14．当t=16/3 时，S=0． ∴0＜S＜14．

综上所述，当t=8/3 时，S有最大值，最大值为128/9 ．

（4）当M点在线段CB上运动时，点Q一定在线段CB上，

①点Q在点M右侧，QM=xQ-xM=16-2t-t=16-3t，NM=NP-MP=4t/3-4 则有16-3t=4t/3-4 解得t=60/13 ；

②点Q在点M左侧，QM=xM-xQ=3t-16，NM=NP-MP=4t/3-4 则有3t-16=4t/3-4 解得t=36/5

但是，点Q的运动时间为（5+8）÷2=6.5秒，故将②舍去．当t=60/13 时，△QMN为等腰三角形．

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