泊松过程

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泊松过程是和计数有关的一个模型,它是随机过程的一种,是以事件的发生时间来定义的。 1. 泊松过程是一类重要的计数过程。

计数过程有着广泛的应用,只要我们对所观察事件出现的次数感兴趣,就可以使用计数过程来描述。例如,(1),到商场购物的顾客数;(2),超市中等待结账的顾客数;(3),某地区的死亡人数、新生人数;(4),通过某一路口的汽车数量;(5),保险公司接到的索赔次数等。

归纳上述可知:传统的各种服务系统,如银行、医院、车站、广场、机场、高速路、游乐场等,以及新兴的服务系统,如购物网站访问量、快递收件数量、个人视频播放量等,在一段时间内,其“顾客”数都存在着计数过程。

如果说上述的服务系统主要是源于其“吸引作用”而引起的计数过程,则可以归纳出:凡带“吸引”属性的事物,都可以看作产生计数过程的源,这类事物的变化过程都可以泊松过程来描述。如生态学上,沙漠地带的水塘对周边的动物产生的吸引,使得它们不定时到此饮水,则动物数量就是一个计数过程;水草丰茂的某块草地也是吸引食草动物前来的源,食草动物一段时间过来吃草的数量,也符合计数过程。

如果说到“服务窗口”的“顾客”计数过程是被动的计数过程,那么一些主动的“某种渴望”产生的也是“顾客数”,也是计数过程。比如用渔网在大海中捕鱼,一段时间内的捕鱼数量就是计数过程;用磁铁在沙堆上主动吸附铁屑,这种主动的过程也会产生计


数过程。所谓生物入侵,无非就是某些外来物种对某地的某个源对有足够的渴望而源源不断的迁徙而来;你身体内某种有害细胞(咱不叫它们癌细胞,那太难听!)的数量增长过程;其他研究,比如种子在一段时间内发芽的粒数,一批种下的小树成材之棵数,一片草地上某种恢复性草籽的成功生长的数目等。 2. 泊松过程是具有独立平稳增量的计数过程

泊松过程是具有独立增量和平稳增量的计数过程,在这个论断中,独立增量比平稳增量更具约束力,当增量不平稳时,可“通过调整时钟”让增量变得平稳,但若增量不独立,则只能增加外约束,使某计数事件的概率增加限定,以期满足计算要求。

之所以使用泊松过程来描述计数过程,其依据是最小概率原理,在伯努利试验中,当每次实验成功的概率很小而实验的次数又很多时,二项分布会逼近泊松分布,这一想法可以推广到随机过程上来:在很短的时间内发生事故的概率是很小的,但若考虑很多这样很短的时间片段的连接,则事故的发生将会有一个大致稳定的速率,将这个过程具体描述出来,就可以写出泊松过程的一个定义。

与泊松过程相关联的分布包括:(1)各时间间隔Xn的分布属于指数分布,参数为λ,且相互独立;(2)各时刻Tn的分布是Γ分布,其参数为n和λ。(3)在已知泊松过程N(t)=n的条件下,各事件发生时刻{T1,T2,…,Tn}的联合分布的概率密度为n!/(t^n)。 3.非其次泊松过程

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