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无可奈何“花”落去，似曾相识“燕”归来
作者：胡志鹏
来源：《数学教学通讯·初等教育》2015年第06期
[摘 要] 在数学学习过程中，解题扮演着重要的角色，同时也是当下中学生学习数学时遇到的主要困难. 很多同学耗费很多时间在做数学题上，却未取得理想的成绩，主要原因是学生在做题过程中，忽略了前后知识之间的联系，缺乏反思和积累. 本文以一类二次函数应用题中观察三个例题之间的内在联系为例，探讨如何帮助学生更好地解决问题. [关键词] 解题；二次函数；转化
美国著名数学家波利亚曾说过：“掌握数学意味着什么？那就是善于解题. ”可见，解题是数学的核心，也是数学活动的基本形式和主要内容. 当然，在我们目前的中考面前，学生解题能力的提高更是初三数学教师面临的非常棘手的问题.
很多学生都有过在数学问题上花费很多时间，却一点头绪都没有的经历，难免让人联想到古代诗人的“无可奈何花落去”，时间耗费不少，似曾相识的燕子却迟迟不归. 而在做题过程中，我们要想找到灵感，就必须将自己的思绪回归到似曾相识上面来. 下面是笔者在对比了三道由易到难的二次函数应用题后的一些感受.
在南京市浦口区上学期期末考试中，有这样一道题：
试题1 如图1所示，函数y=x-3的图象分别交x轴、y轴于点A和点B，点C的坐标为（-1，0），一条抛物线经过A，B，C三点. （1）求抛物线所对应的函数关系式；
（2）设点D是线段AB上的动点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段DE长度的最大值.
学情分析 考试结束后，笔者对此题第（2）问的正确率作了一个统计，全校194名学生，正确率只有5% ，当时笔者所在备课组对原因作了适当分析：由于我校期末之前进度紧，学生刚结束二次函数新课的学习，对二次函数的题型不熟悉，应用能力弱，所以很多学生想不到利用二次函数这个数学模型解决此题中的最值问题.
思路分析 在第（2）问中，要求线段DE的最大值，首先要表示出线段DE的长度，而本题中的DE是动线段，且它是因D点的运动而形成的动线段，故要想表示线段DE的长度，还得先从动点D入手. 因为D，E两点的横坐标相同，所以可通过设D点的横坐标x=a，得到x=a，代入一次函数和二次函数可得y和y，最终得到DE=y-y的函数关系式，利用二次函数求解.
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解决了这个问题之后，笔者并未进行更深入的思考，只是觉得这个问题难在学生对二次函数的应用能力较弱，并且这对于他们来说是一种新题型，今后他们再遇到此类问题时应该会好一些.
这学期在一轮复习二次函数时，笔者特地找到扬州市一道中考题给学生做： 试题2如图2所示，抛物线y=x2-2x-8交y轴于点A，交x轴正半轴于点B. （1）求直线AB对应的函数关系式；
（2）有一宽度为1的直尺平行于x轴，在点A，B之间平行移动，直尺两边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN，PQ，设点M的横坐标为m，且0
学情分析 笔者对学生学案做过批改后，发现成绩较好班级的学生此题第（2）问的正确率也只有37%，远低于笔者的预期. 为此，笔者在班内作了一个统计，发现只有26%的学生在做这一题时，能想到上学期期末考试中的那一道题. 因此，此处就不能完全归咎于学生对于新题型的陌生，而是对二次函数的理解和应用能力较弱. 我还发现，学生在学习时，缺乏对已有知识的迁移能力，所以，教师在讲解时应当注重让学生比较和发现这两道题之间的联系，从而加深他们对知识的印象.
思路分析 思考第（2）问时，要比较MN与PQ的大小，同样是要表示出线段MN与PQ的长度，而本题中的MN与PQ是动线段，且它们是因直尺的运动而形成的两条动线段，故要想表示出线段MN与PQ的长度，还得先从动点M入手. 因为M，N两点的横坐标相同，P，Q两点的横坐标相同，所以可通过设M点的横坐标x=m，得到x=m，x=x=m+1. 代入一次函数和二次函数，最终得到MN=y-y，PQ=y-y的函数关系式，利用作差法比较大小.
由上述分析可见，问题的关键还是表示出线段MN与PQ的长度，其方法和试题1如出一辙，只要在思考过程中想到试题1的解决过程，试题2便能迎刃而解.
在教学过程中，笔者也在不断地研究全国各地的中考试题，在2013年全国100份试卷分类——二次函数篇，笔者又遇到这样一道题：
试题3 如图3所示，在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴上两点，C，D为y轴上两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分C1与经过点A，D，B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”. 已知点C的坐标为0，-，点M是抛物线C2：y=mx2-2mx-3m（m （1）求A，B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由.
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思路分析 刚看到这一题第（2）问时，笔者觉得很奇怪，明明已经知道线段BC的长度，要求△PBC面积的最大值，只要求出BC边上高的最大值，即过点P作线段BC的垂线段，求出最大值即可，可利用二次函数求最值. 但顺着这个思路，笔者几经周折还是没能想出解题思路. 正当笔者准备放弃的时候，笔者一直在想这个问题与前两道试题很相似，而前两道试题都是表示过动点P作x轴的垂线，求截得线段的最大值，这一题却是求过点P作线段BC垂线段的最大值，此时笔者想到了可以将其转化，即（图4）S=S+S，这样，
S=QP·BN+QP·ON=QP·（ON+BN）=QP·OB，要求△PBC面积的最大值，只要求出线段QP的最大值即可. 真是似曾相识燕归来啊！只要有了试题1的解题经验，试题3这样的中考压轴题也可轻松获解，不免让人感到几分欣喜.
反思这一题的解答，如果能够利用前面所学的知识作为自己解题时寻找思路的引子，并不断往上靠拢，转化问题，就能真正避免数学解题过程中的“无可奈何花落去”，进而体会到“似曾相识燕归来”的乐趣！
案例反思学生学习的过程是一个“模仿—掌握—熟练—创新”的过程，这也是学生学习的基本规律. 学生由试题1对二次函数应用进行初步积累，通过试题2进行模仿，进而通过反思解题过程，对新旧知识进行对比分析，从而达到掌握的程度. 当学生遇到试题3时，从熟悉的面孔到知识的迁移，到“无可奈何花落去，似曾相识燕归来”的创新突破，从中体会到了新旧知识之间的联系，不仅找到了做题的灵感，还能体验到数学学习的成就感！
在我们平时的教学过程中常会发现，很多学生一直在很认真地学习数学，可考试时一遇到难题，他们很难取得好的成绩. 究其根本，还是缺少对旧知识的反思和梳理，遇到新问题时，不会将新旧知识联系起来，以旧知为载体，把新问题转化为旧问题.
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2023-02-14
