(完整版)圆的较难习题含答案

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一、选择题

1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°， 那么∠ADO等于( )．

A．70° B．64° C．62° D．51°

2．在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO为( )． A．54m B．

m C．

m D．

m





第1题图 第2题图 第3题图 第4题图

3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).

A. (4π+8)cm B. (4π+16)cm C. (3π+8)cm D. (3π+16)cm

4．如图，则

的半径为5，弦

的长为8，点

在线段

(包括端点

)上移动，

2

2

2

2

的取值范围

是( ). A. C.

B. D.




5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( ) A．12.5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸





第5题图 第6题图 第8题图

6．在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分

别是和，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有( )

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

7．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )． A．80° B．100° C．80°或100° D．160°或200°

8．如图所示，AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数 是( )．

A．65° B．115° C．65°或115° D．130°或50°

二、填空题 9．如下左图，点A、C重合)，则

是

的内接三角形，

，点P在

上移动(点P不与

的变化范围是_________.




第9题图 第10题图

10．如图所示，EB、EC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，

那么∠A的度数是________________.

11．已知⊙O1与⊙O2的半径

、

分别是方程

的两实根，若⊙O1与

⊙O2的圆心距=5．

则⊙O1与⊙O2的位置关系是__________________ .

12．已知圆的直径为13 cm，圆心到直线的距离为6cm，那么直线和这个圆的公共点的个数是______.

13. 两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是______________________.

14. 已知正方形ABCD外接圆的直径为形EFGHIJLK的边

长为_______________，面积为_______________．

15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……

，截去四个角成一正八边形，则这个正八边




(1)图(1)中3条弧的弧长的和为_______________，图(2)中4条弧的弧长的和为_______________；

(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为_______________(用n表示)．

16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm，高为3.5m，外围高4 m的蒙古包，至少要_______________m的毛毡．

2

2

三、解答题

17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF＝FD.









18. 已知射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D 作⊙O的切线交射线OF于E.

(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形.





(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条


与△DPE的边、角或形状有关的规律.

(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围

19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.







20. 问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：

①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；

②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．

然后运用类似的思想提出了如下命题：

③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．

任务要求：




(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明； (2)请你继续完成下面的探索；

①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；

②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论

BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

答案与解析



【答案与解析】 一、选择题

1．【答案】B；

【解析】由AB为⊙O的切线，则AB⊥OD．又BD＝OB，则AB垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．

由AB、AC为⊙O的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝∠DAC＝26°． ∠ADO＝90°-26°＝64°．

本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等． 2．【答案】C；

【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．

由题意，SO⊥AB于O，∴ ∠SOA＝∠SOB＝90°．又SA＝SB，∠ASB＝120°，

∴ ∠SAB＝∠SBA＝

由勾股定理，得(2x)-x＝27，解得 3．【答案】A.；

2

2

2

，设SO＝x m，则AS＝2x m．∵ AO＝27，

(m)．

【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系. ∵ 矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm， ∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，



又 AF=AD=4cm，

，，

∴ ∴

，

.


4. 【答案】A；

【解析】OM最长是半径5；最短是OM⊥AB时，此时OM=3，故选A. 5．【答案】D；

【解析】因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可. 根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，

知 即 故选D. 6．【答案】C.

(寸)，在Rt△AOE中，

，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).

，

【解析】本题借助图形来解答比较直观.要判断两圆公切线的条数，则必须先确定两圆的位置关系，

因此必须求出两圆的圆心距，根据题中条件，在 Rt△AOB中，OA=4，OB=3，所以AB=5，

而两圆半径为 和，且，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，

所以两圆相外切，共有 3条公切线. 7．【答案】C；

【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为在优弧上时，

；圆周角的顶点

圆周角为 8．【答案】C；

．注意分情况讨论．

【解析】连接OC、OB，则∠BOC＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P在优弧上时

∠BPC＝∠BOC＝65°；

点P在劣弧上时，∠BPC＝180°-65°＝115°．

主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理． 二、填空题 9．【答案】 10．【答案】99°；

【解析】由EB=EC，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°，

；


在⊙ O中

∠BCD与∠A互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11．【答案】相交； 【解析】求出方程+

,所以两圆相交.

的两实根

、分别是4、2，则

-<

<

12. 【答案】2个；

【解析】直线与圆的位置关系：相离、相切、相交.判定方法有两种：一是看它们的公共点的个数；

二是比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小.实际上这两种方法是等价的，由题意可知，圆的半径

为6.5cm，而圆心到直线的距离6cm<6.5cm，所以直线与圆相交，有2个公共点.

13. 【答案】7或3；

【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时， 圆心距

，题中一圆半径为5，而d=2，所以有

，解得r=7或r=3，

即另一圆半径为7或3. 14. 【答案】

；

；

【解析】正方形ABCD外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a．如

图所示，设正八边形的边长为x．在Rt△AEL中，LE＝x，AE＝AL＝，

∴ ，，

即正八边形的边长为

．

．




15. 【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π； 【解析】



∵ n边形内角和为(n-2)180°，前n条弧的弧长的和为以某定点为圆心，

以1为半径的圆周长，

个

∴ n条弧的弧长的和为．

，

，…，

，

本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为 则

，

∴ n条弧长的和为



16. 【答案】720π； 【解析】

∵ S＝πr，∴ 9π＝πr，∴ r＝3．∴ h1＝4，∴ ∴

．

2

2

，

，

所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积． 三、解答题 17. 【答案与解析】 （1）连结OF




∴OF⊥FH ∵FH∥BC ， ∴OF垂直平分BC ∴



∵FH是⊙O的切线

∴AF平分∠BAC .

（2）由（1）及题设条件可知

∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB=∠FBD ∴BF=FD. 18．【答案与解析】

(1)在BF上取点P，连AP交⊙O于点D，过D作⊙O切线，交OF于E，如图即为所求. (2)∠EDP=∠DPE，或ED=EP或△PDE是等腰三角形.

(3)根据题意，得△PDE是等腰三角形，

∴ ∠EDP=∠DPE，

∴ ，


在 Rt△OAP中，，

∴ ，自变量x的取值范围是且.

19. 【答案与解析】 解：∵公共弦AB＝120













20. 【答案与解析】 (1)如选命题①． 证明：在图(1)中，

∵ ∠BON＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC＝CA，∠BCM＝∠CAN＝60°， ∴ △BCM≌△CAN，∴ BM＝CM． 如选命题②． 证明：在图(2)中，

∵ ∠BON＝90°，∴ ∠1+∠2＝90°． ∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°，





.


∴ △BCM≌△CDN，∴ BM＝CN． 如选命题③． 证明：在图(3)中，

∵ ∠BON＝108°，∴ ∠1+∠2＝108°． ∵ ∠2+∠3＝108°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°， ∴ △BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．

(2)①答：当∠BON＝时结论BM＝CN成立．

②答：当∠BON＝108°时．BM＝CN还成立． 证明：如图(4)，连接BD、CE 在△BCD和△CDE中，

∵ BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE， ∴ △BCD≌△CDE．

∴ BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD． ∵ ∠CDE＝∠DEN＝108°， ∴ ∠BDM＝∠CEM．

∵ ∠OBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠OCD＝108°． ∴ ∠MBC＝∠NCD． 又∵ ∠DBC＝∠ECD＝36°， ∴ ∠DBM＝∠ECM． ∴ △BDM≌△CEN， ∴ BM＝CN．

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