有理数的概念及运算法则

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一.有理数的分类

⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分

正整数 正整数 整数 0 正有理数

负整数 正分数

有理数 有理数 0 （0不能忽视） 正分数 负整数 分数 负有理数

负分数 负分数

二.有理数基本概念 基本概念

定义

数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

引申意义及性质

⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。 1. 0的相反数是0；0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 任何数都有相反数，且只有一个；

互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0

2.相反数的求法

⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；

⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）

数

轴

只有符号不同的两个

代数数叫做互为相反数，意义 其中一个是另一个的

0的相反数是 相反数，

0。 相

在数轴上与原点距离反

相等的两点表示的两数

是互为相反数； 几何个数，

意义 说明：在数轴上，表

示互为相反数的两个点关于原点对称。



1.①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。

2.一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0； 绝对值相等的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a，则x=±a； 互为相反数的两数的绝对值相等。

3.若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0） 4.绝对值的化简

①当a≥0时， |a|=a ； ②当a≤0时， |a|=-a

0没有倒数；

②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒 ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。



它本身； ⑵一个负数

代数

的绝对值是它的相反

意义

数； ⑶0的绝对值是绝

0. 对

一般地，数轴上表示值

数a的点与原点的距

几何

离叫做a的绝对值，

意义

记作|a|。

乘积是1的两个数互为倒数，倒其中一个数叫做另一个数的数 倒数



一个正数的绝对值是



只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

有理数大

注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

小的比较

⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。


三 有理数运算法则 运算

法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两数相加，和为零； 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。

定律及性质

⑴加法交换律：a+b=b+a

⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”； ④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

加法

减法

乘法

1：两数相乘，同号得正，异号得负，⑴乘法交换律：ab=ba

并把绝对值相乘； ⑵乘法结合律：(ab)c=a(bc). 2：任何数同0相乘，都得0； ⑶乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 3：几个不是0的数相乘，负因数的

个数是偶数时，积是正数；负因数

的个数是奇数时，积是负数； 4：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.

（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。

（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0

求n 个相同因数的积的运算，叫做

除法



乘方

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。 （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都n

乘方，乘方的结果叫做幂。在 a

是0。

中，a 叫做底数，n 叫做指数。 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以

将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如： (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.

和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”

②按运算意义读作“负8减7减6加5”

混合运算



科学记数法

n





如：864000可以写成8.64×105

把一个数表示成 a10的形式或

如：0.000021可以表示成2.1×10-5

表示成a×10-n的形式（其中

，这种记1a10， n是正整数）

数法是科学记数法。

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