概率的几种类型

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概率的几种类型

一、单次抽样的概率

在初中阶段所考查的概率问题都是有限等可能概率，其概率P（A）＝（n是基本事件的总和，m是满足条件的基本事件数）．

例1 （厦门）某班有49位学生，其中有23位女生． 在一次活动中，班上每一位学生的名字都各自写在一张小纸条上，放入一盒中搅匀．如果老师闭上眼睛从盒中随机抽出一张纸条，那么抽到写有女生名字纸条的概率是 ．

分析：由于总学生数为49，每个人名字被抽到的机会是等可能的，因此抽到女生名字纸条的概率＝＝．

例2 （南京）一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上．求A与B不相邻而坐的概率．

分析：左、下、右三个座位被B，C，D三人随机坐可能的顺序有BCD，BDC，CBD ，CDB，DBC，DCB六种．由于A与B不相邻而坐，就是说B必须坐在A的对面，有CBD ，DBC两种可能，因此P（A与B不相邻而坐）＝＝．

二、多次有放回型抽样的概率

我们举个例子来说明多次有放回抽样的概率：设袋中有n个小球，现从中依次摸球，每次摸一个，如果摸出一个后，仍放回原袋中，然后再摸下一个，这种摸球方法就是有放回的抽样.有放回抽样解决的方案有两种：一种是P（A）＝，还有一种是先计算第一次摸球的概率，如果摸球n次就求（P（A））n．（P（A））n就是所求的概率．

例3 （青海湟中）小红、小明、小芳在一起做游戏时，需要确定游戏的先后顺序．他们约定用“剪子、包袱、锤子”的方式确定.问在一个回合中三个人都出包袱的概率是_____．

分析：思路1本题相当于盒子里有1，2，3三个小球，小红、小明、小芳三人依次作有放回抽样，求三人同时抽到2号球的概率． 从树形图可以看出三人随机出拳总共有27种可能，其中“222”的组合只有1种，因此三人都出包袱的概率是．

思路2本题相当于盒子里有1，2，3三个小球，小红、小明、小芳三人依次作有放回抽样，求三人同时抽到2号球的概率．小红出包袱的概率是，因此三人都出包袱的概率是（）3＝．

例4 （泉州）把大小和形状一模一样的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上数字1，2，3．将这两组卡片分别放入两盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张，试求取出的两张卡片数字之和为偶数的概率（要求用树形图或列表法求解）．

分析：思路一通过画图可以得知：可能的结果有9个，数字之和为偶数的有5个，因此两张卡片数字之和为偶数的概率为．

思路二要使得数字之和为偶数，有两种可能：一是两次抽取的都是奇数；二是两次抽取的都是偶数，将分别求得的概率相加，即为所求的概率；由于两次抽取奇数的概率都是，因此两次同时抽取奇数的概率为()2＝；同理，


两次同时抽取偶数的概率就是．故取出的两张卡片数字之和为偶数的概率为．

三、多次无放回抽样的概率

无放回抽样与有放回抽样的区别在于取出的小球不再放回，其解决方法也有两个：第一个方法也是P（A）＝，第二个方法是依次算好每次抽取的概率，然后把每次抽取的概率相乘即得多次抽取的概率．

例5 （宁波）一个袋中有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠子，都是蓝色的概率是( ). A.B.C.D.

分析：思路1我们用1代表红球，用2代表蓝色，画出树形图如下： 可知总可能性为12，两次都是蓝色的有2种．所以两次抽取的都是蓝球的概率是．

思路2第一次抽取蓝球的概率为，第二次抽取蓝球的概率，所以两次抽取的都是蓝球的概率是€祝剑?

例6 （杭州）有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”“08”和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”，则他们就给婴儿奖励．假设婴儿能将字块横着正排,那么这个婴儿能得到奖励的概率是()． A.B.C.D.

分析：思路一用列表法或树形图，解略．

思路二如果排“2008北京”，第一次抽取“20”的概率是，第二次抽取“08”的概率是，第三次抽取“北京”的概率是1，所以排出“2008北京”的概率为，同理排出“北京2008”的概率也是．所以婴儿能得到奖励的概率是+＝．

四、比较两个事件发生可能性大小

比较两个事件发生可能性大小的时候，可以先分别计算两个事件发生的概率，然后比较两个概率的大小．

例9 （安徽）两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同)，但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序．两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车．而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况， 如果第二辆车的舒适程度比第一辆好，他就上第二辆车； 如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：

(1) 三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能?

(2) 你认为甲、乙采用的方案，哪一种方案使自己乘上等车的可能性大? 为什么?

解：（1）三辆车按出现的先后顺序可能有上中下、上下中、中上下、中下上、下上中、下中上共6种可能．

（2）如果按甲的方案，则上到上等车的概率为，如果按乙的方案，则上到


上等车的概率为，所以乙的方案使自己乘上等车的可能性大． 五、判断游戏是否公平

判断一个游戏是否公平只要看看游戏规则对于游戏双方胜出的概率是否相同．

例10 （大连）有一个抛两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不赢． （1）这个游戏是否公平？请说明理由；

（2）如果你认为这个游戏不公平，那么请你改变游戏规则，设计一个公平的游戏；如果你认为这个游戏公平，那么请你改变游戏规则，设计一个不公平的游戏．

分析：（1）这个游戏的结果共有四种可能：正正、正反、反正、反反，所以甲赢的概率为，乙赢的概率为．所以这个游戏有利于乙方，不公平.

（2）若要使游戏公平只需使两人赢的概率相同，我们可以改规则为“若出现两个正面或两个反面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢．”

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