三角函数基础知识及诱导公式

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课题：三角函数

新课讲解：任意角的三角函数

1．三角函数定义：在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(x,y)，它与原点的距离为r(r|x|2|y|2（1）比值

x2y20)，那么

yyxx叫做的正弦，记作sin； （2）比值叫做的余弦，记作cos；

rrrrxxyy

叫做的正切，记作tan； （4）比值叫做的余切，记作cot；

yyxxrrrr

叫做的正割，记作sec； （6）比值叫做的余割，记作csc．

yyxx

（3）比值

（5）比值

说明：①的始边与x轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终

边相同的角所在的位置；

②对于确定的角，六个比值不以点P(x,y)在的终边上的位置的改变而改变大小； ③当



2

k(kZ)时，的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tan

xr

与csc无意义； yy

yr

与sec无xx

意义；同理，当k(kZ)时，coy

④除以上两种情况外，对于确定的值，比值

ryxyxr

、、、、、分别是确定的实数，所以正弦、余弦、正切、

yxyrrx

余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。 2．三角函数的定义域、值域

函 数

定 义 域

值 域

ysin



R R

{|

[1,1] [1,1]

ycos



ytan





2

k,kZ}



R

3．例题分析

例1 已知角的终边经过点P(2,3)与P(a,2a)(a0)，求的六个函数制值。

例2 求下列各角的六个三角函数值：（1）0；（2）；（3）

3

． 2



4．诱导公式（一）

由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。

即有：sin(2k)sin，cos(2k)cos，其中kZ，tan(2k)tan 5.例题分析 求解例题（1）cos250；（2）sin(

新课讲解：同角三角函数的基本关系式1



1



4

)；（3）tan(672)；（4）tan

11

． 3


1．同角三角函数关系式：

（1）倒数关系：sincsc1，cossec1，tancot1(k

2

,kZ)． （2）商数关系：

sincoscostan，cot



sin

． （3）平方关系：sin2

cos21，1tan2sec2，1cot2csc2．

2．例题分析：

例1 （1）已知sin

12

13

，并且是第二象限角，求cos,tan,cot． （2）已知cos

4

5

，求sin,tan． 例2 已知tan为非零实数，用tan表示sin,cos．

例3 已知cotm（m0），求cos

新课讲解：三角函数的诱导公式2

1．诱导公式二：sin(180)sin；cos(180)cos．

说明：①公式二中的指任意角；

②若是弧度制，即有sin()sin，cos()cos； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：tan(180)

sin(180)cos(180)sin

cos

tan．

3．诱导公式三：sin()sin；cos()cos．tan()tan

说明：①公式二中的指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限 4．例题分析：

例1 求下列三角函数值：（1）sin960； （2）cos(

43

6

)． 例2 化简cotcos()sin2(3)

tancos3

()

．





新课讲解：三角函数的诱导公式3 1．推导公式：





2

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