静电能

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§ 1.8 静电能 ELECTROSTATIC ENERGE （教材 P101）

1.静电互作用能

电荷之间的相互作用必然伴随着能量转移，由于电荷的相互作用通过电场传递，因此，能量转移必然通过电场对电荷作功来实现.

我们在1.5节已经指出，静电场的保守性质，决定了它是有势场。任何两点之间的电势差，等于电场力（或克服电场力）将单位正电荷从一点移至另一点所作的功，这功将转化为单位正电荷静电势能的改变量.

因此，电势零点一经确定，任何一点的电势U ，就相当于单位正电荷在该点具有的静电势能.

电势函数 U （x,y,z）在空间的分布构成标量场。



让我们设想，在其它电荷产生的外电场E 中，某点P的电势为U（x,y,z）= U（x） ，我们以黑体字母x 表示该点的位置矢量.

当电场力（或克服电场力）将点电荷q从电势零点移至P点，电荷q就具有了势能：

(1.8-1)

这能量显然反映着外电场与电荷q 的相互作用，因此，这是电场与电荷q 的相互作用能。

如果我们对上式求负梯度，我们马上会得到

(1.8-2)

这正是外电场E 作用于电荷q的库仑力.

如果一个体积为V 的电荷体系处于其它电荷的外电场E 中，设这体系的电荷密度函数为r (x) ,某个电荷元dq = r (x) d V 所在处外电场的电势为U（x）,则这电荷元与外场的静电互作用能为



显然，这电荷体系与外电场的静电互作用能，就是V 内所有电荷元与外电场的静电互作用能之和，它由下述积分给出：

(1.8-3)



1




现在，我们考虑两个点电荷之间的静电互作用能.

设P1 和P2 两点分别存在着点电荷q1和q2 ，两者的距离r12 = r21.



对于q2 ，q1的电场就是外电场，它在q2所在点的电势为



于是， q1对q2的静电互作用能是



同理，对于q1 ，q2的电场就是外电场，同样可得到q1对q2的静电互作用能



我们看到：两个理想点电荷的静电相互作用能与它们的相互距离成反比；而且,W12 = W21，即它们的相互作用能存在空间平移对称性——两者互换位置，相互作用能量不变.这从能量守恒定律可以得到解释.

根据上面两式，我们现在将两个点电荷的静电互作用能写成：

2


(1.8-4)

这里，Ui是一个点电荷在另一个点电荷所在处产生的电势. 这结果显然可以推广至 n个点电荷的相互作用能：

(1.8-5)

其中

(1.8-6)

是其它点电荷在第 i 个电荷所在处产生的电势之代数和

2.外电场对电偶极子的作用（教材 P39 和 P109）

当电矩为p = ql 的电偶极子处于外电场E中,它将与外电场发生相互作用而具有一定的势能.由（1.8-1），两个电荷的势能分别是 W+= qU+ W-= -qU- 故电偶极子的总势能为



（1.8-7）

即 （1.8-8）

其中，q 是电矩矢量p 的方向与外电场E 的方向之间的夹角.





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显然，q = 0 即当电矩矢量p 的方向与外场E一致的状态，是电偶极子的能量最低状态，因而也是最稳定的状态.而q = p 即p 与外场方向相反的状态，则是电偶极子的能量最高状态，即最不稳定的状态.

据（1.8-2）和（1.8-7），电偶极子受到外电场的作用力为

(1.8-9)

可见，若外电场是均匀场，即当E与坐标无关时，则▽E = 0，于是电偶极子受到的净作用力F =0 .

从组成电偶极子的两个电荷+q和-q受到的力来看，分别是 F+ = +qE 和 F- = - qE ,因此，当外电场是均匀的，电偶极子受到的合力F= F++ F-= 0.这告诉我们，处于均匀电场中的电偶极子不会出现平移运动.

但是，如果外电场是非均匀场，则▽E ≠0， F ≠0，外场力将把电偶极子拉向场强较高的方向.

处于非均匀电场中的电介质(dielectric)小颗粒或轻微物体，将被极化而成为电偶极子，并被吸向场强较高的地方.

例如，静电吸尘及静电选矿，就是利用这个原理.

从（1.8-8）式

我们看到，q≠0的状态，并非电偶极子的稳定状态.

事实上，由于F+ 和F-两者不共线，故必定会对电偶极子形成一个净力矩，并使电偶极子朝着q = 0 即外电场的方向转动.



我们记电场作用于电偶极子的力矩矢量为L，L的方向亦即转轴的方向必定垂直于p 和E 线构成的平面.

我们设想在这力矩作用下，q 有微小改变δ q ，从而使电偶极子的势能 W 减小，即

（1.8-10）（“虚功原理”，见教材P110） 两边除以δ q ，并取

δ q →0的极限，有

（1.8-11）

将





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代入并求导数，我们得到

(1.8-12 )

实际上，转动是朝着q 减小的方向、也就是(1.8-10)式中δq < 0的方向进行的，因此力矩矢量L的绝对值应为

(1.8-13)

考虑及此，力矩矢量应当为

(1.8-14)



读者也可以从上图中，通过计算两个电荷相对于中点0 所受的力矩之和，来检验（1.8-14）.——动手算一算

两个电荷相对于中点0 所受的力矩矢量之和为



[例1-18] 两个电偶极子的相互作用能





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[解] 设两电偶极子的距离为r，电矩为p1的电偶极子处于坐标原点o并沿z轴，电矩为p2的电偶极子与p1的夹角为a ，如图所示. 由（1.7-19）我们知道 p1在p2所在处产生的场强为：

(1.8-15)

而矢量p1可分解成球坐标下的两个分量（两个黄色箭头）：

(1.8-16)

即p1在p2所在处产生的场强E 可写成

(1.8-17)

据（1.8-7）,两者的相互作用能为

(1.8-18)

大家看到,两个电偶极子的相互作用能量的数值不仅与它们距离r 的3次方成反比，还与两者的相互取向有关.

如果我们对上式求负梯度（在球坐标下进行） ，将给出两者之间的相互作用力，显然，这力与r4 成反比.------ 你能否动手计算一下？ 现在，让我们考察如下比较特殊的几种情形：

(1) 当两者共线，例如 p2也处于 z 轴，并且相同的取向，即q = 0 ,a = 0 ，



此情形下两者将互相吸引，（1.8-18）给出相互作用能





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为负值；

如果两者共线但取向相反，即q = 0 ,a = p 时, （1.8-18）给出W 将是一个正值，表示两者互相排斥.

(2) 当q = p/ 2 ,a = 0 ,



即两者平行且方向相同，将互相排斥，此时



为正值；

如果q = p/ 2 ,a = p ,两者平行但方向相反上式将变为负值,此时两者将互相吸引. 上述结果对于我们今后讨论电介质（dielectric）问题显得很重要.

由于组成介质的分子一般都是电中性的（总电量为零），而其电荷分布大都偏离球对称性，因此必定会出现分子电多极矩——主要是分子电偶极矩和四极矩,因此,如果从电学的角度看,电介质内部分子之间的相互作用,主要是电偶极矩以及四极矩之间的相互作用.

从例1-16和例1-17读者已经看到:

电偶极子的电势与 r 的2次方成反比,它们之间的相互作用势能与距离 r 的3次方成反比，

电四极子的电势则与 r 的3次方成反比，它们之间的相互作用势能应当与距离 r 的4次方成反比，

因此,一般情况下分子之间的电相互作用，主要地是电偶极作用. 自习内容

教材 P41[例5] P105 [例1] P106 [例2]

3.电荷体系的静电能量（自能量） (教材P107)

电荷之间存在着相互作用能，意味着带电体自身必然具有一定能量.现在,我们就来考虑任意一个电荷体系的静电能量，亦即它的自能量.我们在前面的(1.8-5)式，已经表示出n 个点电荷的静电互作用能：



其中

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是其它点电荷在第i个电荷qi所在处产生的电势之代数和.应当主意，上式没有包括每一个电荷自身的能量.

现在，我们设体积V内连续分布着电荷，电荷密度为r(x)，一个很小的体积元dV内的电荷就是dq =r (x) dV .



根据电势叠加原理， 每一个很小的体积元dV内的电势U (x)，应当是dV内部的电荷自己产生的电势Us（x）与dV外部的其它电荷产生的电势Ue（x）之和： U(x) = Us（x）+Ue（x） 因此，dV内的电荷所具有的静电能，包含着它内部电荷的互作用能以及它与外部其它电荷的互作用能之和：



于是，这带电体的总静电能量就是

(1.8-19)

积分体积V遍及整个电荷分布区域.

4.静电场的能量和能量密度 （可参阅教材P207，但讲法不同）

大家知道，电荷分布稳定的带电体产生静电场，这电场与带电体不可分割地联系在一起.因此，我们把带电体的静电场叫做它的自有场.现在我们设想，通过某种方 法使一个半径为a的薄球壳带上电荷q，例如，利用电源的一个电极与导体球壳接触使之带电，这过程电源作了功，然后将电极拿开，达到稳定平衡状态后，电荷均 匀地分布在球壳表面上，电荷密度为





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如你们所知，这带电球壳的场强分布为

( r≥a)

E = 0 (r < a)

即这球壳的电场连续地分布于整个球外区域.而球壳表面的电势则是一个常数

（r = a）

由于电荷只是分布于球面上，因此根据（1.8-19），将被积函数



对整个球面积分，便给出这球壳的总静电能

（1.8-20）

一个非常重要的问题是：这个带电体的静电能究竟以什么形式存在？

大家已经知道，电荷之间的相互作用是通过电场传递的.如果我们在这带电球壳外部某点放进一个试验电荷q0，它必将受到电场力的作用而改变运动状态，这意味着q0从电场中获得了一定的能量！因此电场必定具有能量.

让我们假设,电场的能量密度——单位体积内电场的能量为

(焦耳/米3 ) （1.8-21）

对于这个带电球壳而言，电场是分布在球外区域的。让我们试试看，将球外场强代入（1.8-21），并对球外空间积分，将会得到什么？注意到球坐标中的体积元



我们有

（1.8-22）

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这结果与（1.8-20）完全相等！ 这告诉我们：

带电体的静电能量，以电场能的形式分布于它周围的空间中. 更普遍的理论推导和实验结果都表明：

无论是稳定的电场，还是非稳定的电场，（1.8-21）式，即



都是电场能量密度的表达式. 现在大家已经看到了，电场强度E，已经不仅仅表示单位电荷在电场中受到的作用力（通

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过库仑定律所定义的含义），E实际上直接地描述了电场能量密度——电场能量在空间中的分布函数. 关于电磁质量

既然电场具有一定的能量，根据爱因斯坦质能关系 W = mc2 （1.8-23）

电场必定也具有一定的质量.也就是说，电场是一种客观存在的物质.

质能关系（1.8-23）最重要的物理意义，是它揭示了“质量”的起源——即一定的质量来源于一定的相互作用能量.我们知道，在带电粒子静止的参照系观察，粒子静电场——这是粒子电荷的自有场，为什么带电粒子自有场与它的电荷不可分割地连在一起？ 其实，这里存在着相互作用的两个方面： 一方面是电荷产生电场

另一方面是电场反作用于电荷

由于任何相互作用都必然遵从能量守恒，因此，电荷产生在的电场能量，一定等于电场反作用于电荷的能量，正是这一作用与反作用能量，将电荷和它的自有场不可分割地连系在一起 . 带电粒子的自有场对粒子的反作用，必然导致带电粒子具有一定的电磁质量.

因此，我们现在所测量到的一切带电粒子的质量，都必然包含着它的电磁质量. [例1-19]电子的“电磁质量”及其“经典半径” （教材P108 例题3） 大家知道，电子与质子所带电量的绝对值是相等的.

电子属于轻子族，其静止质量约为m=9.11×10-31千克(静止能量约为mc2 = 0.51MeV)，几乎只有属于强子族的质子静止质量的1/1840. 近年来高能物理实验的结果表明，质子内部存在着深层次结构——夸克，胶子在夸克之间传递着强作用.质子的均方根半径的数量级为10-15米.从理论上来说，电子具有静止能量，意味着它也应当存在某种内部结构，但是迄今为止的实验，直到10-18米的深度，仍未发现电子的内部结构.如果我们把电子看成纯粹的“点粒子”，则“点粒子”模型又导致能量“发散困难”. 这是在由于r =0 即点电荷自身所在点上，电场强度E=? ，于是此处电场能量密度





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为无穷大，因而其电场能量也是无穷大.这不符合电子具有有限能量的客观事实 一个非常简单的经典模型是:把电子电荷看成均匀地分布于半径为a的球面，因而由（1.8-22）和（1.8-23）,它的静电场能量（自能量）和电磁质量就分别是





假设电子内部还存在着另一种相互作用——以维持这种电荷按球面分布的结构，这意味着电子内部必定存在着另一种质量来源，设这部分质量为mi ,则电子的总质量为m = mem+mi ,若再假定两部分质量有相同的数量级，即m≈2 mem ,于是由W=mc2 ,得到

(1.8-24)

即电子的“经典半径”为

（1.8-25）

如果把电子电荷看成为均匀分布于球体内，我们也会得到相同数量级的半径.(参见教材P108 ）（2000年北京大学研究生入学考试电动力学试题）

表面上看来，（1.8-25）式给出的“电子半径”由几个已知的、而且是反复测量过的基本物理常数 构成. 但是它与实验所观测到的结果相差了3个数量级 ！这说明上述经典模型，离实际相去甚远.即使是当今的量子场论，也未能就电子的内部结构提出一个合理的模型.也就是说，直到现在，无论是理论上还是实验 上，我们都未明白电子的内部结构。尽管如此，由于电磁相互作用是自然界普遍存在的一种基本作用，因此，电磁能量和电磁质量概念,在整个物理学中都是很重要 的.

习题

P112： 1，3，4 4题提示：

想一想每一个电荷元受到其它电荷元作用力的方向，以及它所具有的作用势能大小，解释为什么它的电荷q 无论是正的还是负的，此球都有膨胀的趋势？

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