第6课时等差数列的前n项和(1)

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第6课时等差数列的前n项和（1）

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学习要求

1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程．

2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题

【自学评价】

1. 等差数列的前n项和：

公式1：S(a1an)

n

n2

公式2：Snna1

n(n1)

2

d； 2.若数列｛an｝的前n项和Sn＝An2＋Bn，则

数列｛an｝为 等差数列 .

3.若已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则an

可用SSn表示:anSn1(n2)

nS1

(n1)

【精典范例】

【例1】 在等差数列｛an｝中，

（１）已知a13，a50101，求S50；

（２）已知a3，d1

12

，求S10．

【解】

（１）根据等差数列前ｎ项和公式，得

S3101502

502600.

（２）根据等差数列前ｎ项和公式，得

S1031091105

10222

.

【例2】 在等差数列｛a1

n｝中，已知d2

，

a315

n2，Sn2，求a1及n.

【解】由已知，得

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听课随笔

由②，得





代入①后化简，得





点评: 在等差数列的通项公式与前ｎ项和公式中，含有a1，ｄ，ｎ，an，Sn五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量．

【例3】在等差数列｛an｝中，已知第１项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和． 【解】

即





解得





思维点拔

数列{an}是等差数列,前n项和是Sn,那么

Sm,S2mSm,,Sk1mSkm,

kN



仍成等差数列,公差为m2

d(m为确定的正整数)

【例4】根据数列｛an｝的前n项和公式，判断下列数列是否是等差数列. (1)Sn＝2n2－n (2)Sn＝2n2－n＋1

【解】 (1)a1＝S1＝1 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝(2n2－n)－［2(n－1)2－(n－1)］ ＝2(2n－1)－1＝4n－3 ∵n=1 时也成立， ∴an＝4n－3

1


an＋1－an＝［4(n＋1)－3］－［4n－3］＝4∴｛an｝成等差数列 (2)a1＝S1＝2 a2＝S2－S1＝5 a3＝S3－S2＝9 ∵a2－a1≠a3－a2 ∴｛an｝不是等差数列.

点评： 已知Sn，求an，要注意a1＝S1，当n≥2时an＝Sn－Sn－1，

因此aS (n1)n＝1

Sn

Sn1 (n2).

【追踪训练一】：

1.在等差数列｛aa

n｝中，若S12=8S4,则1d

等

于( A ) A.

910

B.

10

9

C.2 D.

23

2.在等差数列｛an｝和｛bn｝中，a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列｛an+bn｝的前100项的和为( D ) A.0 B.100 C.1000 D.10000 3.一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( A )

A.它的首项是－2，公差是3 B.它的首项是2，公差是－3 C.它的首项是－3，公差是2 D.它的首项是3，公差是－2

4. 在等差数列｛an｝中，已知a11=10,则S21=___210___

5. 已知数列{an}的前n项和为Sn=4n2 －n+2,则该数列的通项公式为( B ) A.an=8n+5(n∈N*) B.a5 (n1),

n=

8n5 (n2,nN*).



C.an=8n+5(n≥2) D.an=8n－5(n≥1).

【选修延伸】

【例5】设{an}是等差数列，求证：以

ba1a2an

nn

(nN)为通项公式

的数列{bn}是等差数列。

【证明】设等差数列的公差为d，前n项的

和为Sn(a1an)

n，则Sn2

。

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b1a2an

听课随笔

nbn1

an

a1a2

an1n1

n(a1an)(n1)(a1an1)2n

2(n1)1d

2(anan1)2

（常数） （n2,nN

）。{bn}是等差数列。

【例6】已知等差数列｛an｝满足：Sp＝q，Sq＝p，求Sp＋q(其中p≠q). 【解】由已知Sp＝q，Sq＝p得

pap(p1)

1＋2dq ① qaq(q1)1＋2

dp ② ①－②整理

得2a1(pq1)d2

＝－1

∴

S(pq)(pq1)

pq(pq)a1

2

d

＝(p＋q)2a1(pq1)d

2＝－(p＋q)

点评：本问题即是在a1、d、n、an、Sn中知三求二问题，但在解方程的过程中体现出了较高的技巧；本题有多种解法，也可考虑设Sn＝An2＋Bn或{

Sn

n

}成等差数列去求解. 【追踪训练二】

1.等差数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，那么它的通项公式是( C ) A.an=2n－1 B.an=2n+1 C.an=4n－1 D.an=4n+1

2.数列1，

12,12,13,13,13,1111

4,4,4,4

，…的前100项的和为( A ) A.13

9

1114

B.13

14 C.14114 D.14314

3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+5,则a6+a7+a8=__45____.

4. 一个等差数列，前n项的和为25，前2n项的和为100，求前3n项的和.

2


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【解】



【答案】前3n项的和为225

【师生互动】





学生质疑

教师释疑



匠心办公文档系列 听课随笔

3

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