第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类-2015)

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第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类，2015）



一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）

2sinsin

（1）极限limn2n2n

n

n1n2



sin2 . nn



（2）设函数zzx,y由方程Fx

zz

,y0所决定，其中Fu,v具有连续偏导数，且yx

xFuyFv0。则x

zz

y . xy

2

2

（3）曲面zxy1在点M1,1,3的切平面与曲面所围区域的体积是 .

3,x5,0（4）函数fx在

0.x0,5

是 .

5,5

的傅立叶级数在x0收敛的值

（3）设区间0,上的函数ux定义域为的ux是 .





0

extdt，则ux的初等函数表达式

2

二、（12分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。



三、（12分）设fx在a,b内二次可导，且存在常数,，使得对于xa,b，有

fxfxfx，则fx在a,b内无穷次可导。



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n32n

四、（14分）求幂级数x1的收敛域，及其和函数。

n0n1!





五、（16分）设函数fx在0,1上连续，且（1）x00,1使fx04 （2）x10,1使fx14



1

0

fxdx0,xfxdx1。试证：

0

1





222

六、（16分）设fx,y在xy1上有连续的二阶偏导数，且fxx2fxyfyyM。若

2

2

f0,00,fx0,0fy0,00,证明：



x2y21



fx,ydxdy

M

4

。



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