周长最小问题

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周长最短问题

1、在直角坐标系中,设A（4，-5）B（8，-3）C（m，0）D（0，n）,,,当四边形的周长最短时,m/n的值为_________.

如图，在直角坐标系中有四个点A（-6，3），B（-2，5），C（0，m），D （n，0），当四边形ABCD周长最短时，则m= ，n=

分析：设A点关于x轴的对称点为A′，则A′（-6，-3），B点关于y轴的对称点是B′（2，5），设直线A′B′解析式为y=kx+b，把A′（-6，-3），B′（2，5）代入得k=1，b=3，所以y=x+3，令x=0，得y=3，令y=0，得x=-3，即m=3，n=-3，即m+n=0． 2．（2008•内江）如图，当PABN的周长最小时，a= 3、．如图：已知ABCD，∠BAD=120°，CB⊥AB，CD⊥AD且AB=AD=3，点E，F分别在BC，CD边上，那么△AEF的周长 ．

4、在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（3，2），B（1，5）． （1）若点P的坐标为（0，m），当m= 时，△PAB的周长是 ； （2）若点C、D的坐标分别为（0，a）、（0，a+4），则当a= 时，ABDC的周长最短．

5、如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=30°，OP=3

，则△PMN的周长的最小值为 ．


6、如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？

B'

B



A

PA'

QP'

Q'

作法：(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段)

1)过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定长P'Q'； 2)作出点A关于直线L的对称点A'，连接A'B'，交直线L于P； 3)在直线L上截取线段PQ=P'Q. .则此时AP+PQ+BQ最小.

略证：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四边形. 下面只要说明AP+BQ即可.

点A与A'关于直线L对称，则AP=A'P,AP'=A'P'. 故:AP+BQ=A'P+B'P=A'B';

AP'+BQ'=A'P'+B'P'.显然,A'B'；(三角形三边关系) 即AP+BQ

7、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和

S1PAPB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2PAPB．


（1）求S1、S2，并比较它们的大小；

（2）请你说明S2PAPB的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、

B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．



提示：涉及勾股定理、点对称、设计方案。 第（3）问是“三折线”转“直”问题 。

再思考-------设计路线要根据需要设计，是P处分别往A、B两处送呢，还是可以先送到A接着送到B。本题是对所给方案进行分析，似乎还容易一些，若要你设计方案，还需

B

y

B

C

CQ

图(1)

A

B'

Q

A

x

O

P

考虑一个方案路线，P→A→B。 (1)在图(1)中

过点A作AC⊥BQ于点C，则BC = BQ-CQ =40-10= 30， AB= 40，在Rt△ABC中，

根据勾股定理，得AC = 40，所以PQ = 40

P

图(3)

B

A'

C

AE

在Rt△BPQ中，根据勾股定理，得PB = 402 ， 所以S1= PA+PB = 10+402 在图(2)中

图(2)P

A'

S1 = A'B = PA+PB =A'C2 + BC2 = 502 + 402 = 1041 (2)如图(2)在△EA'B中，有EB+EA'>A'B 因为S1= EB+EA'，S2= A'B ，所以S1> S2 (3)如图(3)

分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点A'，B'，连接A'B'，交x轴、y轴于点P、Q，则四边形PABQ的周长最小，

构造如图在Rt△A'B'C中，B'C = 30+30+40 = 100， A'C = 10 +40 =50 ，所以A'B' = 1002 + 502 =505

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