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149垂线的概念与性质
知识点:
垂线的定义:两直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么就称这两条直线相互垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
垂直的表示:用“⊥”和直线字母表示垂直,a、b互相垂直, 垂足为O,则记为:a⊥b或b⊥a. 垂线的性质: 1. 经过直线或直线外一点,有且只有一条直线与已知直线垂直.
2. 连接直线外一点与直线上各点的所在线段中,垂线段最短.
注:⑴两条直线垂直是两直线相交的特殊情况,特殊在它们所交的角是直角. ⑵线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直,都是指它们所在的直线互相垂直. ⑶垂线与垂线段的区别:垂线是一条直线,不可度量;垂线段是一条线段,可度量.
经典例题:
例题1.下列判断错误的是( ). A.一条线段有无数条垂线;
B.过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直;
C.两直线相交所成的四个角中,若有一个角为90°,则这两条直线互相垂直;
D.若两条直线相交,则它们互相垂直. 答案:D.
解析:本题应在正确理解垂直的有关概念下解题,知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况,反之,若两直线相交则不一定垂直. 故选:D.
例题2 如图,三条直线相交于点O.若CO⊥AB,∠1=56°,则∠2等于( )
A. 30° 答案:B.
解析:根据垂线的定义求出∠3,然后利用对顶角相等解答.
解:∵CO⊥AB,∠1=56°,
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣56°=34°, ∴∠2=∠3=34°.
B. 34°
C. 45°
D. 56°
故选B.
例题3 如图,∠PQR等于138°,SQ⊥QR,QT⊥PQ.则∠SQT等于( )
A. 42° B. 64° C. 48° D. 24° 答案:A.
解析: 利用垂直的概念和互余的性质计算.
解:∵∠PQR等于138°,QT⊥PQ,
∴∠PQS=138°﹣90°=48°, 又∵SQ⊥QR, ∴∠PQT=90°, ∴∠SQT=42°.
故选A.
例题4如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,点P是边BC上的动点,则AP长不可能是( )
A. 2.5 cm B. 答案:A.
3 cm
C.
4 cm D. 5 cm
解析: 利用垂线段最短分析.
解:已知,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,
根据垂线段最短,可知AP的长不可小于3,当P和C重合时,AP=3, 故选A.
例题5已知如图,AO⊥BC,DO⊥OE,若∠COE=35°,则∠AOD的度数是( ).
A.30° B. 答案:B.
35°
C.
40° D. 45°
解析: 已知AO⊥BC,DO⊥OE,就是已知∠DOE=∠AOB=∠AOC=90°,利用同角或等角的余角相等,
从而得到相等的角.由(1)知,∠AOD=∠EOC,故可求解.
解:(1)∵AO⊥BC,DO⊥OE,
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