自习课练习

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三轮复习（1）

m＋ni

1．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋i＝1＋ni，则＝ ( )．A．－1 B．1 C．－i D．i

m－ni

解析 由m＋i＝1＋ni(m，n∈R)， ∴m＝1且n＝1.

m＋ni1＋i1＋i2则＝＝2＝i. m－ni1－i答案 D

2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为 ( )．A．4

B．3 C．2

D．1

解析 A∩B的元素个数，即为直线与圆的交点个数．

22

x＋y＝1，由易知直线与圆有两个交点(0,1)，(1,0)， x＋y＝1



∴A∩B＝{(0,1)，(1,0)}． 答案 C

5111

－，－2，则下列说法正确的是（ ）A．p是q的充要条件 3．已知命题p：≤2x≤，命题q：x＋∈42x2 B．p是q的充分不必要条件 C．p是q的必要不充分条件 D．p是q的既不充分也不必要条件

1x1

解析 由≤2≤，∴－2≤x≤－1.

42511

又－2≤x＋x≤－2，得－2≤x≤－2. ∴p是q的充分不必要条件． 答案 B

4．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a|·|b|，则tan x的值等于（ ）

A．1 B．－1 C. 3 D.

2

2

解析 由|a·b|＝|a|·|b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2 x，

即2sin xcos x＝2sin2 x，而x∈(0，π)， 所以sin x＝cos x， π

即x＝4，故tan x＝1. 答案 A

π

θ－的值为（ ） 5．若对∀a∈(－∞，0)，∃θ∈R，使asin θ≤a成立，则cos6


1132A. B. C. D. 2322

解析 ∵asin θ≤a⇔a(sin θ－1)≤0， 依题意，得∀a∈(－∞，0)，有asin θ≤a. ∴sin θ－1≥0，则sin θ≥1. 又－1≤sin θ≤1， 因此sin θ＝1，cos θ＝0.

ππ1π

故cosθ－6＝sin θsin 6＋cos θcos 6＝2.

答案 A

6．已知复数z＝1＋ai(a∈R，i是虚数单位)，

z

34

＝－＋i，则a＝________. z55



1－ai1－ai21－2ai－a21－a21－a22a34

解析 由题意可知：＝＝＝－i＝－5＋5i，因此

1＋ai1＋ai1－ai1＋a21＋a21＋a21＋a232a4

＝－5，化简得5a2－5＝3a2＋3，a2＝4，则a＝±2，由－＝可知a＜0，仅有a＝－2满

1＋a25足，故a＝－2. 答案 －2

→→

7．如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则AM·AO的值为________．



解析 延长AO交△ABC的外接圆于点N，连接BN，CN. ∵∠BAC为钝角，

∴外心O在△ABC的外部． 又M为BC中点， →＝1( AB→＋AC→)．

∴AM

2→·→＝1(AB→＋AC→)·→因此AMAOAN

41→→→→＝4(AB·AN＋AC·AN)．

π

依题设，∠ABN＝∠ACN＝2，根据平面向量数量积的几何意义， → ·→＝1(|AB→|2＋|AC→|2)＝5. ∴AMAO

4答案 5


8．已知Sk＝1k＋2k＋3k＋„＋nk，当k＝1,2,3，„时，观察下列等式：

11S1＝n2＋n，

22111S2＝n3＋n2＋n，

326111

S3＝n4＋n3＋n2，

4241111S4＝n5＋n4＋n3－n，

5233015

S5＝An6＋n5＋n4＋Bn2，

212„ 可以推测，A－B＝________.



1

解析 由 S1，S2，S3，S4，S5的特征，推测A＝6. 又各项的系数和为1，

151∴A＋2＋12＋B＝1，则B＝－12. 111

因此推测A－B＝6＋12＝4. 1答案

4

9．已知二次函数f(x)＝ax2＋x，若对任意x1、x2∈R，恒有2f

x1＋x2

2≤f(x1)＋f(x2)成立，不等式f(x)＜0的解集

为A.(1)求集合A；(2)设集合B＝{x||x＋4|＜a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．

解 (1)对任意x1、x2∈R，

x1＋x21

＝a(x1－x2)2≥0成立， 由f(x1)＋f(x2)－2f

22要使上式恒成立，所以a≥0.

由f(x)＝ax2＋x是二次函数知a≠0，故a＞0. 1

所以f(x)＝ax2＋x＝axx＋a＜0.

1

解得A＝－a，0.



(2)B＝{x||x＋4|＜a}＝(－a－4，a－4)， 因为集合B是集合A的子集， 1

所以a－4≤0，且－a－4≥－a.

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