数学归纳法应用的六点注意

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数学归纳法应用的六点注意

数学归纳法是用来证明与正整数有关的命题的方法，其证明过程是：⑴证明当n取第一个值n0时，结论正确；⑵假设当nk(kN,kn0)时，结论正确，证明当nk1是结论也正确。

在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确，但是，我们在使用过程中要对以下几点引起注意：

注意一：步骤⑴是步骤⑵的基石。只有步骤⑵而无步骤⑴可能得出不正确的结论。

错例：假设当nk时，等式135(2k1)k21成立，那么

135(2k1)(2k1)(k1)21，就是说如果当nk时，等式成立，

那么nk1时，等式也成立。但是，仅根据这一步就得出等式对于任何nN都成立，就错了。因为当n1时，就不成立。

注意二：步骤⑵是步骤⑴的递推依据。没有它，我们将无法递推下去，也可能得出不正确的结论。

5n27n4错例：对于等式123n，当n1时，等式成立，

2

2

2

2

2

就得出对任何nN都成立，就错了。因为n4时，等式就不成立。

因此，只有把第一步结论与第二步结论联系在一起，才能断定命题对所有的正整数都成立。

注意三：要注意步骤⑴的完整性。

1111

2kk(kN)，在证明的第一步中，仅2222

3

证当n1时，左边右边，不等式成立是不全面的，还应证明当n2时，

2

75

左边右边，步骤⑴才算完整。

42

例：设P(k)：1

注意四：在步骤⑵中假设nk时命题成立，应注意下一个n的取值。 例：n为奇数时，求证：xnyn被xy整除。当第二步假设nk时命题成立，进而需求证nk2时命题成立。

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注意五：由k到k1的证明中要注意nk与nk1的差异与联系。 例：通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明：这些平面把空间分成n2n2个部分。在步骤⑵中，设k个平面把空间分成Pkk2k2个部分，那么，当nk1时，则新增平面被分成2k个部分，

即Pk1Pk2kk2k22k(k1)2(k1)2， 即当nk1时命题也成立。

注意六：步骤⑵中的归纳假设必须应用，虽然有些题目证明过程中可以不应用归纳假设就可以得到证明，但是，这不符合数学归纳法的要求。

错例：已知数列计算得：S1

8n8182

,,…，，…，Sn为其前n项和，

(2n1)2(2n1)212323252

8244880

，S2，S3，S4，推测出Sn的公式，并用数学归9254981

(2n1)21

。在步骤⑵中，nN纳法证明。猜测：Sn2

(2n1)

an

8n11



(2n1)2(2n1)2(2n1)2(2n1)2

111111(2k3)2112321。 22

335(2k1)(2k3)(2k3)2(2k3)2

Sk1

虽然这样也说明了当nk1时，等式成立，但这种方法已经不是数学归纳法了。

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