关于有唯一解的方程

2022-07-04 16:09:48 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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关于有唯一解的方程

若关于x的方程(a+b)/x+a/b=-1有唯一解，则a,b满足的条件是？这是一个分式方程的问题，解决这类问题的关键是排除等号恒成立的条件，具体解答如下：

把方程化简得：

(a+b)/x=-(a+b)/b （此部即把分式a/b移到等号右面并化简）

此时方程两边有相同的多项式(a+b)，此时千万不能约掉，因为关键就这里，方程两边约的条件是约去的东西不为0，即(a+b)为0则方程两边全为0，此方程恒成立，则X有无数解。因此：要是方程只有一解则要(a+b)不等于零，则两边约掉(a+b) 可得X=-1/b

什么情况下分式方程无解

解分式方程一般情况下都是将分式方程转化为整式方程，然后再求分式方程的解。有的分式方程有解，有的分式方程无解，分式方程无解可以从两个角度进行考虑：

一是分式方程转化为的整式方程无解；

二是分式方程转化为的整式方程有解，但是这个解使分式方程的最简公分母的值为0。

例题、关于x的分式方程

32x2mx

1无解，求m的取值。 x33x

分析：分式方程无解有两种情况：一是去分母之后所得到的整式方程无解，二是去分母

之后所得到的整式方程有解，但是这个解又使分式方程的最简公分母的值为0，这时分式方程也无解。所以要想根据分式方程无解来确定待定字母的取值，就必须考虑以上两种情况。

解：原方程两边都乘以x3，约去分母得32x(2mx)(x3)，整理得(1m)x2。

第一种情况：当m1时，这个整式方程无解，所以当m1时，原方程无解。第二种情况：对于方程(1m)x2，当x3时，3是原方程得增根，原方程无解，所以当(1m)32时，即m

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时，原方程无解。 35

所以当m的值为m1或者m时，原方程无解。

3

一、分式方程无解不一定就产生增根

要弄清这个问题,首先要搞清楚:什么是分式方程的增根?简言之,能使分式方程的最简公分母为零的根就是其增根。再次必须知道:增根也是根,它是原分式方程去分母后所变形而成的整式方程的根。若这个整式方程本身就无解,当然原分式方程肯定就无解了,而在这种情形下就没有增根产生。举例如下:

例1.解方程: (x-1)/(x+2)=(3-x)/(2+x)+2

分析: 去分母得:x-1=3-x+2x+4

移项,合并同类项得:0x=8

因为此方程无解,所以原分式方程无解.

例2.解方程: (x2 +2)/( x2 -4)=2/(x+2)-1

分析: 去分母得:x2+2=2x-4-x2+4

移项,合并同类项得:x2-x+1=0

∵△=1-4<0 ∴此方程无解 ∴原方程无解.

二、分式方程产生增根时也不一定就无解

如果分式方程在去分母后所变形而成的整式方程是一元一次方程,它的解恰能使最简公分母为零,这个根是增根。又由于一元一次方程的根往往只有一个,所以,这时的原分式方程无解;若所变形而成的整式方程是一元二次方程时,情形就不一样了。举例如下:

例3.解方程: 1/(x-2)+3=(1-x)/(2-x)

分析: 去分母得:1+3x-6=x-1

解得:x=2

经检验: x=2是增根

所以原方程无解.

例4.解方程: x/(x-1)-2/(x+1)=4/( x2 -1)

分析: 去分母得:x2+x-2x+2=4

解得:x1=2,x2=-1

经检验: x=2是原方程的根,x=-1是增根

所以,原方程的根为x=2.

因此,弄清增根与无解的区别,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义。