二次函数中线段长度的最值问题教学实例及反思

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二次函数中线段长度的最值问题教学实例及反思

四川外国语大学附属外国语学校 肖庆



笔者在初三复习二次函数中线段长度的最值问题时，用一题多变的形式将其各种题型逐一呈现，在层层递进中归纳出通性通法，同时也对相关的解题技巧进行了梳理。现将教学实例及课后反思总结出来，希望能抛砖引玉，与大家共同探讨。

我将二次函数中线段长度的最值问题分成了两个大类:，第一类：可求出线段长度的解析式，再利用二次函数知识求最值；第二类：用“将军饮马”模型可解决的线段最值问题。

第一类问题复习中，我遵循“由浅入深”的原则先给出了此类问题中最简单，最基础的一个作为复习的例题。

例1：如图1，抛物线yx22x3 与X轴交与点A和点B，与y轴

交于点C，在直线BC上方的抛物线上有一点P，过点P作y轴的 平行线交直线BC于点Q ，求线段PQ 的最大值。

教学引导：点P和Q点的横坐标相同，可先假设出来，然后利用函数的解

析式表示出两个点的纵坐标，相减后可得线段PQ长度的解析式， 再利用二次函数相关知识求其最大值。

过点P可作的y轴平行线，当然也可作X轴的平行线，引出变例1。 变例1：如图2，抛物线yx22x3 与X轴交与点A和点B，与y轴

交于点C，在直线BC上方的抛物线上有一点P，过点P作X轴的 平行线交直线BC于点Q ，求线段PQ 的最大值。

教学引导：点P和Q点的纵坐标相同，但要用假设的纵坐标表示出横坐标 有一定难度，可考虑利用例1的方法解变例1。即过点P作y轴

的平行线交BC于点D ，可证明PQDCBO30，则PQ

A

y

C



P



x

Q

A



O



B



图1

y

C





Q



P





O



B



x

图2

3PD 。

除了过点P作坐标轴的平行线外，我再将条件更改为过点P作直线BC的平行垂线，引出变例2。 变例2：如图3，抛物线yx22x3 与X轴交与点A和点B，与y轴

交于点C，在直线BC上方的抛物线上有一点P，过点P作直线BC 的垂线于点E ，求线段PE的最大值。

E



C

y



P



教学引导：让学生在变例1的启发下求解变例2，即过点P作y轴

的平行线交BC于点D ，可证明EPDCBO30， 则PE

A



O



B



x

3

PD 。 2

图3


讲完变例2后我从以上三例引导学生自己归纳出三种线段长度的最值问题都可转化为求与y轴平行的线段的最值加以解决。然后我将它们结合起来，把线段的最值问题拓展到三角形周长的最值问题，给出了

y 变例3和变例4。

变例3：如图4，抛物线yx22x3 与X轴交与点A和点B，与y轴

交于点C，在直线BC上方的抛物线上有一点P，过点P作x轴的 平行线交直线BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC交于

A

C



D



Q

P





O



B



x

点Q，求三角形PDQ周长的最大值；

教学引导：让学生抓住PDQCBO30，P=90，这两个关键点

则可得PD3PQ，QD=2PQ ，即可求出三角形PDQ周长的解析式。



变例4：如图5，抛物线yx2x3 与X轴交与点A和点B，与y轴

交于点C，在直线BC上方的抛物线上有一点P，作PQBC于Q 点，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，求PMQ周长的 最大值；

教学引导： 还是将问题转化为与y轴平行的线段的最值问题求解，过点P

A

OC

P

M

Q

B

图4

2

y

x

图5

作y轴的平行线交BC于点D ，让学生抓住PMDQPD=CBO30，P=90，则

可得PM3PQ，PQ=

33

PD,MQ=3PQPD ，即可求出三角形PMQ周长的解析式。 22

课后反思：课后我觉得还可将此题进一步延伸，修改点B和点C的坐标，使CBO30 ，例如可将直线

BC的解析式改为y

1

x3 ，则难度上升，可抓住PMDQPD其三角函数值也相同2

这一关键点，先求出CBO 的三角函数值，则可知PMQ的三角函数值，再求PMQ周长的的解析式。

在复习第二类可用用“将军饮马”模型可解决的线段最值问题时，我先用例2作为母题引入。 例2：如图6，抛物线yx2x3 与X轴交与点A和点B，与y轴

交于点C，点G的坐标是（

2



C

y

17 ， ）。在抛物线的对称轴上找一 24

G



点P使PC+PG 的值最大，求符合题意得点P的坐标。

教学引导：这是典型的“将军饮马”问题，找点C关于对称轴的对称点C ， 连接CG，与对称轴的交点即为符合题意得P点。

A



O





B



x

图6


可把线段之和的最小值延伸到三角形或四边形周长的最小值，我给出了变例1。 变例1：如图7，抛物线yx22x3 与X轴交与点A和点B，与y轴

交于点C，在抛物线的对称轴上找一点P使四边形ACPO 的周长最 大，求符合题意得点P的坐标。

教学引导：虽是要求四边形ACPO的周长最小，但ACAO 的长度是固定，

关键是求PCPO 的最小值，这就将其转化为例1的问题了。

我们还可以把线段之和的最小值变更为线段之差绝对值的最大值，引出变例2。 变例2：如图7，抛物线yx22x3 与X轴交与点A和点B，与y轴



C

A



C

y





O



B



x

图7

y

57

交于点C，点M的坐标是（ ， ）。在y轴上找一点P使PMPB

24

的值最大，求符合题意得点p的坐标。 教学引导：直线MB与y轴的交点即为所求p点。

教学反思：课后我思考可把上述两类最值问题结合起来，设计出双最值问题，

使其进一步拓展升华。例如:

A



M



x



O



B

图8

变例：如图9，抛物线yx22x3 与X轴交与点A和点B，与y轴交于点C，在直线BC上方的抛物

线上有一点P，过点P作y轴的平行线交直线BC于点Q，过点P作直线BC的垂线于点E ，当

PEQ 的周长最大值时，在y轴上找一点N使四边形NOBP的周长最大，求符合题意得点N的坐标。

变例：如图10，抛物线yx2x3 与X轴交与点A和点B，与y轴交于点C，在直线BC上方的抛物

线上有一点P，作PQBC于Q点，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，当PMQ的周长最大值时，在抛物线的对称轴上找一点k使KPKB的值最大。





C

2

y

y

C

P

M

E

Q



P



A



O



B



x

A

O

Q

B

x

图9

图10

本文来源：https://www.wddqxz.cn/29e718e288d63186bceb19e8b8f67c1cfad6ee18.html