分式方程的增根与无解

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例谈分式方程的增根与无解

分式方程的增根与无解是分式方程中罕见的两个概念，同学们在学习分式方程后，经常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并不是如此．

分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而发生的未知数的值；而分式方程无解则是指不管未知数取何值，都不克不及使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：

例1 解方程

24x3

2．① x2x4x2

解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2．

经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解．

【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解．

例2 解方程

x13x

2． x22x

解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8．

因为此方程无解，所以原分式方程无解．

【说明】此方程化为整式方程后，自己就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解纷歧定就是发生增根．

例3（2007湖北荆门）若方程

x3m

=无解，则m=——————． x22x

解：原方程可化为

x3m

=－． x2x2

方程两边都乘以x－2，得x－3=－m． 解这个方程，得x=3－m．

因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m，解得m=1． 故当m=1时，原方程无解．

【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们其实不克不及因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学


知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．

2ax3例4当a为何值时，关于x的方程①会发生增根？ x2x24x2

解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2） 整理得（a－1）x＝－10 ②

若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根． 把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．

【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．

若将此题“会发生增根”改为“无解”，即：

2ax3

当a为何值时，关于x的方程①无解？ 2

x2x4x2

此时还要考虑转化后的整式方程（a－1）x＝－10自己无解的情况，解法如下： 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2） 整理得（a－1）x＝－10 ② 若原方程无解，则有两种情形：

（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x＝2或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6．

综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解．

结论：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮忙我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义．

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