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第二十二讲：概率与解析几何
1、某中学招收体育特长生，篮球项目初试办法规定：每位考生定点投篮，投进2球即可通过，并停止投篮，但投篮次数不能超过5次。若前4次都没投进，则第5次不能再投，假设某学生投篮命中率为
1
，每次投篮互不影响。 3
（1）求该学生投篮通过的概率；
（2）若记投篮的次数为，求的分布列和数学期望。
2、A、B两个箱子中分别装有标号为0、1、2的三种卡片，每种卡片的张数如下表所示： 从A箱中取2张卡片，B箱中取1张卡片，共3张卡片，用表示取出的三张卡片的标号数之积， （1） 求随机变量的分布列； （2）求随机变量的数学期望。
3、五个球分别标有数字1,1,1,2,2，从中任取2个球，随机变量表示两球上所标数字之和。 ①求的概率分布；
②求的数学期望E和方差D。
4、“甲型H1N1流感”已经扩散，威胁着人类．某两个大国的研究所A、B，若独立地研究“甲型H1N1流感”疫苗，研制成功的概率分别为和
1
31
；若资源共享，则提高了效率，即他们研制成功的概率比4
独立地研究时至少有一个研制成功的概率提高了50%.又疫苗研制成功可获得经济效益a万元,而资源共享时所得的经济效益只能两个研究所平均分配.请你给A研究所参谋:是否应该采用与B研究所合作的方式来研究疫苗,并说明理由.
5、有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面(编号为①②③④⑤⑥)上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5，若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用表示更换的面数，用表示更换费用。
(1)求①号面需要更换的概率；
(2)求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；
(3)写出的分布列，求的数学期望。
6、已知点A的坐标为（1，0），点B为x轴负半轴上的动点，以线段AB为边作菱形ABCD，使其两对角线的交点恰好在y轴上。
（1）求动点D的轨迹E的方程；
（2）若点P在（1）中轨迹E上的动点，Q（t,0）是定点，是否存在垂直x轴的直线l，使得直线l被以线段PQ为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，用t表示出直线l的方程，若不存在，说明理由。
7、在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第二象限，半径为22且与直线y=x相切于原点O，
x2y2
1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。 椭圆29a
（1）求圆C的方程。
（2）圆C上是否存在点Q，使O、Q关于直线CF（C为圆心，F为椭圆的右焦点）对称？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。
8、已知抛物线C的方程为yax(a0),过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0))，作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线C于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点（P、A、B三点互不相同），且满足
2
k2k10(0且1)
（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线AB上一点M满足BMMA，证明线段PM的中点在y轴上。
xyy2x2
9、设A(x1,y1)、B(x2,y2)是椭圆221(ab0)上的两点，已知m(1,1)，
baabn(
x2y2
,)，若mn0，且过焦点垂直于长轴的弦长为1，短轴长为2，O为坐标原点。 ba
（1）求椭圆的离心率；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值；
（3）试问：△ABC的面积是否为定值？如果是，请给予证明，如果不是，请说明理由。
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2022-07-09
