用复数证明余弦定理

【#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《用复数证明余弦定理》，欢迎阅读！



正、余弦定理的复数证法

正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即。

余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即c2=a2+b2－2abcosC ，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA。

教材中对正、余弦定理的证明较繁，下面介绍一种简单的证法——复数法。

证明：如下图，在复平面内作△ABC，则

=a（cosB+i sinB），

=

=b[cos

（－A）+i sin（－A）]＝，这里C'是平行四边形ACBC'的顶点，根据复数加法的几何意

义可知

＝

＋

＝

＋



所以c=a（cosB+i sinB）+b[cos（－A）+i sin（－A）] =（acosB+bcosA）+（asinB－bsinA）i。 （*）



根据复数相等的定义， 有asinB－bsinA=0，

即 。

对（*）式两边取模，得

c2=（acosB+bcosA）2＋（asinB－bsinA）2

=a2+b2+2abcos（B+A）

=a2+b2－2abcosC 其他各式同理可证。

本文来源：https://www.wddqxz.cn/255c3945f7ec4afe04a1dfa7.html