高中数学放缩法公式

2022-04-09 02:20:10 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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“放缩法”证明不等式的基本策略

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

n*

例1、已知an21(nN).求证：

an1a1a2

...n(nN*). 23a2a3an1

证明：

ak2k11111111

k1.k,k1,2,...,n, k1kk

ak12122(21)23.222232

若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2k2，从而是使和式得到化简.

2、先放缩再求和（或先求和再放缩）

例2、函数f（x）=

4x14x

，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+

12n1

1

(nN*). 2

证明：由f(n)=

4n14n

=1-

11

1 14n22n

1221

1

1222

1

122n

得f（1）+f（2）+…+f（n）>1

111111

n(1n1)nn1(nN*).

424222

此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

3、逐项放大或缩小

n(n1)(n1)2

an例3、设an122334n(n1)求证： 22

122n12

证明：∵ n(n1)nn n(n1)(n)

22

2n1

∴ nn(n1)

2

n(n1)(n1)213(2n1)

an ∴ 123nan， ∴ 222

2n1

本题利用nn(n1)，对an中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。

2

4、固定一部分项，放缩另外的项；

例4、求证：

111222

123



17 2n4

证明：

1111 2nn(n1)n1n

此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

5、函数放缩

ln2ln3ln4ln3n5n6

n3n(nN*)3436例5.求证：2.

解析:先构造函数有

lnxx1

ln2ln3ln4ln3n111lnx1

n3n1(n)1

342333 xx,从而2

11111111111111

nnnn

3213 234567892因为23

ln2ln3ln4ln3n5n5n6n3n13n3466 3所以2

6、裂项放缩

例6 求证:k1

1n2

k

n

1

2



53.



11

2

4n12n12n1

2

1n2

14

4

解析:因为,所以k1

k

n

1

2

112511

121

2n12n133 35

7、均值不等式放缩

例

7.设Sn1223n(n1).求证

n(n1)(n1)2

Sn.22

解析: 此数列的通项为ak

kk(k1)

k(k1),k1,2,,n.

nnkk111

kkSn(k)

2， 22，k1k1

n(n1)n(n1)n(n1)2

Sn.

222即2

注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式

(n1)(n3)(n1)2

Sn(k1)

22k1

n

ab

ab

2

，若放成k(k1)k1则得

，就放过“度”了！

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里其中，n2,3等的各式及其变式公式均可供选用。

8、二项放缩

01n01

2n(11)nCnCnCn2nCnCnn1

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