圆面积公式的推导和思考

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圆面积公式的推导和思考

摘要：圆形是我们生活中最常见的图形，也是小学六年几何图形中接触的主要图形。圆面积的计算涉及到三角形、长方形、正方形的相关知识。在推导圆面积公式时，需要运用到这些图形之间千丝万缕的联系。在圆面积公式的推导过程中，可以激发学生的逻辑思维，强力拉动学生数学逻辑思维和探索能力的发展。 关键词：圆；面积公式；推导 一、教学目标 （一）知识教学点

1、了解圆面积的概念。

2、掌握圆面积的计算公式。 （二）能力训练点

1、会正确应用公式计算圆的面积，并能解答有关圆面积的实际问题。 2、培养学生迁移类推能力。 二、学法引导

1、通过演示、操作、交流与合作，引导学生归纳圆面积计算公式。 2、指导学生利用公式进行体验，巩固新知。 三、教学重点

思考、探索、交流圆面积的计算方法。 四、教学难点

亲自动手、仔细观察，通过已学知识推导圆面积的公式，掌握求圆面积的方法。

五、问题情境

（一）组织一场小型的投飞镖游戏，每小组请一个学生代表在规定的位置向飞镖板投掷飞镖，比一比，看哪一组的分值最高。活动结束后，教师将圆环图案的飞镖板展示给学生看。让学生认真观察飞镖板，说出上面的圈是什么意思，代表着什么。中间的红点又是什么意思，为什么投中中心分值最大。投飞镖的小游戏能快速提高课堂的活跃度，学生们都喜欢玩。学生积极参与到飞镖游戏的讨论中，增加了课堂的活跃度，让每个学生都能参与其中。这样激发了学生的学习积极性，有培养了学生的思维能力，自然而然引出下面的飞镖板。

师：同学们，我们刚刚玩了一场投飞镖的游戏。这个游戏大家平时玩过没有，喜欢玩吗？今天我们现场就有了一个飞镖板。

师：请学生仔细，这个飞镖板上为什么会有很多圆圈呢，这些圆圈的作用又是什么？

生1：飞镖板上的圆圈划分出了不同区域，每个区域的得分不一样。 生2：投中飞镖板最中间的圆点得分最高，投中最外面的圆圈得分最低。 师：为什么飞镖板最中心的原点分值最高呢?大家对此有什么想法？ 生1：中心太难投中了，所以分值高。

生2：投飞镖这个游戏就是比谁能投中靶心。

学生可能还会有其他不同的看法，教师要鼓励他们大胆的表达出来。

（二）有了前面的铺垫，接下来教师拿出提前准备好的另一个飞镖板，图案跟教材同款。让学生仔细观察说一说两个飞镖板有什么区别。在教师的引导下，学生们会发现，这个飞镖板被分成了大小相等的许多个小三角形。发现飞镖板图案的特征，为下面估算及图形转化作准备。出示教材上的飞镖板图案。


师：仔细观察，在这个飞镖板上你们发现了什么? 生1：飞镖板是圆形的。

生2：飞镖板被平均分成了20份。 生3：分成的每份都像一个小三角形。 （三）估算面积

1、教师引导大家回忆一下三角形的面积怎么计算，公式是什么。然后利用三角形的面积来估算一下这个飞镖板的面积。接下来让学生相互讨论，如何估算出飞镖板的面积。有了问题的指引，学生们纷纷开动脑筋，把已学的三角形面积知识运用起来，提高教学效果。

师：同学真聪明，观察的非常仔细。如果已知这个飞镖板的半径是10厘米。板书：r=10cm

师：你们能想出办法来估算出这个飞镖板的面积吗?大家说一说如何估算? 生：先计算一个小三角形的面积，再算20个小三角形的面积总和。 2、鼓励学生试着估算。

师：说得对。那么小三角形的面积是怎么估算的呢?

生：要求三角形的面积，需要知道两个条件，三角形的高和三角形的底。飞镖板的半径可以看作三角形的高，圆周长的可以看作三角形的底。利用三角形面积公式就可以计算出三角形的面积。

师：接下来，就请同学们尝试着着估算一下这个飞镖板的面积。学生在估算的同时，教师巡视，发现遇到困难的学生，及时给与引导。

师：谁来分享一下，你在估算的时候，有什么想法?你估算出的结果是多少? 生：飞镖板的表面是一个由20个小三角形组成的圆形。每个小三角形的底约是周长的，圆的半径看作三角形的高。由圆的周长求出小三角形的底，再求出一个小三角形的面积，然后求出20个小三角形的面积总和。学生一边说算式，教师一边板书出来。

飞镖板周长：2×3、14×10=62、8(厘米)

小三角形面积：62、8×120×10÷2=15、7(平方厘米) 飞镖板面积：15、7×20=314(平方厘米) （四）利用多媒体辅助教学

教师利用PPT课件，播放小动画，如何将一个圆形拆分组合成一个长方形。利用PPT操作既直观又节省时间，为下面学生自主探究作准备。

师：刚才同学们通过自己的思考，利用已学的三角形面积估算出了飞镖板的面积，很好!大家还能不能想到其他估算方法呢？教师一边播放小视频一边讲解。 师：我们还是像刚才一样，把飞镖板分成许多小三角形。但是这一次，我们要把这些小三角形都剪开，然后拼接成一个长方形。利用长方形的面积计算公式，我们再来估算一下这个圆形飞镖板的面积大吧。

学生一边说，教师一边板书：周长的12=62、8÷2=31、4(厘米) 飞镖板的面积：31、4×10=314(平方厘米)

师：观察用这种方法估算的面积，你发现了什么? 生：估算的结果一样。 六、思考

在“圆面积公式”的常规推导中：需要先把一个圆平均分成若干个类似三角形的图形，然后将其拼成近似的长方形。利用已知的长方形面积计算公式，推算出圆形的面积计算公式。在将圆“等份”同时，小三角形的个数达到多少时，才能拼


成较大的正方形呢？ 七、教学反思

在圆面积公式的推导教学中，教师要将理论和实践结合起来。引导学生自己动手、动脑。利用小组合作的形式，开展自主探究，合作交流。让学生见证知识的形成过程。教师利用生活中的元素来激发学生的思维。让学生积极参与到操作、讨论、探索、类比等数学活动中。主动、自愿地获取知识，增强能力，提升素质。学生在小组合作探究中，相互学习、共同提高，促进学生对圆面积的感受和理解。教学活动设计既体现教材的编排意图，又联系生活实际，使数学问题生活化。 参考文献：

[1]王金超.《圆的面积》教学设计[J].现代营销(下旬刊)，2019(75)：128-129. [2]袁铁民.探索圆的面积公式[D].西安：陕西师范大学，2019.

[3]胡兴.圆面积公式的推导及思考[J].远程教育杂志，2019，36(44)：66-72.

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