高数

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一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. 设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有(

　).

（A）f(0)2 （B）f(0)1（C）f(0)0 （D）f(x)不可导.

2. 设(x)1x

1x，(x)333x，则当x1时（　　）

.

（A）(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）(x)与(x)是等价无穷小；

（C）(x)是比(x)高阶的无穷小； （D）(x)是比(x)高阶的无穷小.

x

3. 若

F(x)0

(2tx)f(t)dt

，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且

f(x)0，则（ ）.

（A）函数F(x)必在x0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x0处取得极小值；

（C）函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点；

（D）函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线yF(x)的拐点。

1

4.

设f(x)是连续函数，且 f(x)x20

f(t)dt , 则f(x)(

x2x2

（A）2 （B）22

（C）x1 （D）x2.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 2

5. lim(13xsinx

x0

)



.

6. 已知

cosxx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosx

xdx .

2



7.

nlim



n

(cosn

cos2

2ncos2n1

n) .

1

2



x2arcsinx1

－

11x

2

dx

8. 2

.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9. 设函数yy(x)由方程exy

sin(xy)1确定，求y(x)以及y(0).

求1x7

10. x(1x7

)dx.

)




x

 1xe，　　x0

设f(x)　求f(x)dx．

32

2xx，0x111.

1

012. 设函数f(x)连续，，且x0

求g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.

g(x)f(xt)dt

lim

f(x)

Ax，A为常数.

13. 求微分方程xy2yxlnx满足

y(1)

1

9的解.

四、 解答题（本大题10分）

14. 已知上半平面内一曲线yy(x)(x0)，过点(0,1)，且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）

15. 过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x 轴围

成平面图形D.

(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16. 设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q[0,1]，

q

1

f(x)dxqf(x)dx

0

0

.



17. 设函数f(x)在0,上连续，且





0

f(x)dx0

，



0

f(x)cosxdx0

.证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，

x

使f(1)f(2)0.（提示：设



F(x)

f(x)dx

0

）

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