单摆周期原理及公式推导

2023-01-31 06:03:36   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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关于单摆的回复力

①在研究摆球沿圆弧的运动情况时,要以不考虑与摆向垂直的力,而只考虑沿摆球运动方向的力,如图所示.

②因为′垂直于,所以,我们可将重力G分解到方向及垂直于的方向.1sinθmgsinθG2



Gcosθ

mgcosθ

③说明:正是沿运动方向的合力1mgsinθ提供了摆球摆动的回复力. 单摆做简谐运动的条件

①推导:在摆角很小时,sinθ

又回复力mgsinθ

xl



mg·表示摆球偏离平衡位置的位移,表示单摆的摆

xl

长)

②在摆角θ很小时,回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相反,大小成正比,单摆做简谐运动.

③简谐运动的图象是正弦(或余弦曲线)那么在摆角很小的情况下,既然单摆做的是简谐运动,它振动的图象也是正弦或余弦曲线.

单摆周期公式推导

设摆线与垂直线的夹角为θ, 在正下方处时θ=0,逆时针方向为正,反之为负。 摆的角速度为θ’ 角度θ对时间t的一次导数), 角加速度为θ’’ θ对时间t的二次导数)。对摆进行力学分析,

由牛顿第二运动定律,有 (m)*(l)* θ’’ = - mg*sinθ θ’’+ (g/l)*sinθ = 0 ω = (g/l)1/2 , θ’’ + (ω2)*sinθ = 0


θ很小时, sinθ ≈ θ (这就是考虑单摆运动时通常强调“微”摆的原因)

这时,

θ’’ + (ω^2)*θ ≈ 0 该方程的解为 θ = A*sin(ωt+φ)

这是个正弦函数,其周期为

T = 2π/ω = 2π*√(l/g)


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