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分解质因数(一)
专题简析:一个自然数的因数中,为质数的因数叫做这个数的质因数。
把一个合数,用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。例如:24=2×2×2×3,75=3×5×
5。
其实,把一个数分解成质因数相乘的形式,能启发我们寻找解答许多难题的突破口,从而顺利解题。
例题1:把18个苹果平均分成若干份,每份大于1个,小于18个。一共有多少种不同的分法?
分析:先把18分解质因数:18=2×3×3,可以看出:18的约数是1、2、3、6、9、18,除去1和18,
还有4个约数,所以,一共有4种不同的分法。
试一试1:195个同学排成长方形队伍做早操,行数和列数都大于1,共有几种排法?
例题2:有168颗糖,平均分成若干份,每份不得少于10颗,也不能多于50颗。共有多少种分法? 分析:先把168分解质因数,168=2×2×2×3×7,由于每份不得少于10颗,也不能多于50颗,所以,每份有2×2×3=12颗,2×7=14颗,3×7=21颗,2×2×2×3=24颗,2×3×7=42颗,共有5种分法。 试一试2:把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组,每小组人数在10至25人之间,求每组的人数及分成的组数。
例题3:将下面八个数平均分成两组,使这两组数的乘积相等。
2、5、14、24、27、55、56、99
分析:14=2×7 55=5×11
24=2×2×2×3 56=2×2×2×7 27=3×3×3 99=3×3×11
可以看出,这八个数中,共含有八个2,六个3,二个5,二个7和二个11。因为要把这八个数分
成两组,且积相等,所以,每组数中应含有四个2,三个3,一个5,一个7和一个11。经排列为(5、99、24、14)和(55、27、56、2)。
试一试3:把40、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组,使两组四个数的乘积相等。
例题4:王老师带领一班同学去植树,学生恰好分成4组。如果王老师和学生每人植树一样多,那么他
们一共植了539棵。这个班有多少个学生?每人植树多少棵?
分析:根据每人植树棵数×人数=539棵,把539分解质因数。539=7×7×11,如果每人植7棵,这个班就有7×11-1=76人;如果每人植树11棵,这个班共有7×7-1=48人。
试一试4: 3月12日是植树节,李老师带领同学们排成两路人数相等的纵队去植树。已知李老师和同学们每人植树的棵数相等,一共植了111棵树,求有多少个学生。 例题5:下面的算式里,□里数字各不相同,求这四个数字的和。
□□×□□=1995
分析:要使两个两位数的积等于1995,那么,这两个数的积应和1995有相同的质因数。1995=3×5×7×19,可以有35×57=1995和21×95=1995。因为要满足“数字各不相同”的条件,所以取21×95=1995,这四个数字的和是:2+1+9+5=17。
试一试5:有三个自然数a,b,c,已知a×b=35,b×c=55,a×c=77,求三个数之积是多少?
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分解质因数(二)
专题简析:掌握并灵活应用分解质因数的知识,能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题。 例题1:三个质数的和是80,这三个数的积最大可以是多少?
分析:三个质数相加的和是偶数,必有一个质数是2。80-2=78,剩下两个质数的和是78,而且要使它
的积最大,只能是41和37。因此,这三个质数是2、37和41。 最大积是2×37×41=3034 试一试1:有三个质数,它们的乘积是1001,这三个质数各是多少?
例题2:长方形的面积是375平方米,已知它的宽比长少10米,长和宽的和是多少米?
分析:这道题如果用方程来解会比较麻烦,我们可以把375分解质因数看一看。375=5×5×5×3,因为5×5比5×3正好多10,所以,此长方形的长是5×5=25米,宽是5×3=15米,它们的和是40米。 试一试2:有4个孩子,恰好一个比一个大1岁,4人的年龄积是3024,这4个孩子中最大的几岁?
例题3:某班同学在班主任老师带领下去种树,学生恰好平均分成三组,如果师生每人种树一样多,一共种了1073棵,那么,平均每人种了多少棵?
分析:根据每人种树棵数×参加人数=1073,把1073分解质因数:1073=29×37,再根据学生恰好平均分成三组可知:参加种树的人数是3的倍数多1,由于只有37比3的倍数多1,所以有37人,平均每人种29棵。
试一试3:王老师带同学们擦玻璃,同学们恰好平均分成3组。如果师生每人擦的块数同样多,一共擦111块,那么,平均每人擦了多少块?
例题4:把155/186和221/187约分。186 和187
分析:这两个分数的分子和分母都比较大,不能一眼看出分子和分母的公约数。我们可以先求出分子与
分母的差,如果差是质数,就直接用这个质数去约分;如果差是合数,就把这个合数分解质因数,然后用其中的一个质数去约分。
1555
①186-155=31,31是质数,用31约分得: = ;
186622113
②221-187=34,34=2×17,用17约分得: = 。
18711
155221
试一试4:请用上面的方法把下面的几个分数约分。
46143 69117
例题5:小明用2.16元买了一种画片若干张,如果每张画片的价钱便宜1分钱,那么他还能多买3张。
小明买了多少张画片?
分析:根据题意可知:画片的单价×张数=216分,它们乘积的质因数和216的质因数相同。我们可以先把216分解质因数,再写成两数相乘的形式分析:216=2^3×3^3=8×27=9×24,显然,216分可以买8分的画片27张,也可以买9分的画片24张。所以,小明买了24张画片,符合题意。 试一试5:求2310的约数中,除它本身以外最大的约数是多少?
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