二项分布方差公式推导复习过程

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二项分布方差公式推导



若ξ～B(n,p)，q=1-p，求证Dξ=npq

1

∵Eξ=np， kCnkpq=npCkpq,

n1

1k1

kk Cnkpq=np[(k-1)Ckpq＋Cn1pq] n1

2k1

=np[(n－1)pCknpq＋Cn1pq] 2

kn-kk-1n-k

kn-kk-1n-kk-1n-k

k-2n-kk-1n-k

而Dξ=E

2

(E)

2

，

n-1

kn-k

∴Dξ=(1×1×Cn1p1q＋2×2 Cn2p2qn-2＋…＋k×k Cnkpq＋…＋n×nCnpq)(np)

n-1

nn0

2



k-

=np(1×Cn-10p0q＋2Cn-11p1qn-2＋3Cn-12p2qn-2＋…＋k Cn-1k-1p

1n-k

q



2

2

n

＋…＋nCn-1n-1pn-1q0)－2np Eξ＋np(p＋q)

=np{[0×Cn-10p0q＋1Cn-11p1qn-2＋2Cn-12p2qn-2＋…＋(k-1) Cn-1k-1

n-1

pq＋…＋(n-1)Cn-1n-1pn-1q0]＋(Cn-10p0q＋Cn-11p1qn-2＋

22n-2

k-1

k-1n-k

k-1n-kn-1

Cn-1pq＋…＋Cn-1pq＋…＋Cn-1pq)}(np)=np[Eη＋(p＋q)] (np)=np[(n－1)p＋1] (np)=np(1－p) =npq .

2

n-1n-10

2



n-12











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