平方差的几何意义

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探索平方差公式的几何意义

平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的应用十分广泛，能够灵活运用该公式进行计算是整式乘法学习的重要内容之一。学习中要善于观察，多分析，掌握公式的结构特征，真正理解公式，才能在解题中运用自如，避免出现错误。下面我们从几何意义方面对该公式全新的认识。 首先认识公式的特征：（a+b）（a-b）=a2-b2 公式的左边是两数和与这两数差的积的形式，公式右边恰好是这两数的平方差，我们要弄清来源自然易记。若要用几何图形来表示，如图（1）所示，阴影部分面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即为a2-b2 公式的右边。下一步关键是如何将阴影部分拼揍成一个规则的图形，且让它的面积为（a+b）（a-b）即为公式的右边，再利用图形拼揍前后面积相等得到平方差公式。

拼法一：将图（1）沿虚线把长方形Ⅰ剪下来，恰好拼到图（2）中所示长方形Ⅱ的位置，得到一个新长方形：



长为（a+b），宽为（a-b） ，即它的面积为（a+b）（a-b）。从而验证（a+b）（a-b）=a2-b2。



图 1 Ⅰ a-b 图2

Ⅰ b a+b

a



拼法二：将图(3)沿虚线剪下来，阴影部分正好分成两个全等的直角梯形，按图（4）所示的方法拼成一个等腰梯形，上底为2b,下底为2a ,高为 a-b，所以此等腰梯形的面积 1／2(2a-2b)(a-b)，为化简后（a+b）（a-b）,从而可得（a+b）（a-b）=a2-b2 a b b 图4

② ① ②

图3 ①

a a

a-b b

拼法三：将图（3）沿虚线剪下来恰好拼成一个长方形如图（5）所示，长为 （a+b），宽为（a-b），所以长方形的面积为 （a+b）（a-b），即可得：（a+b）（a-b）=a2-b2

a+b

① 图6 图5 ② a-b ①

a-b ②

a+b

拼法四：将图（3）沿虚线剪下来恰好有拼成一个平行四边形如图（6）所示，底边长为（a+b），高为（a-b），则

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平行四边形的面积为（a+b）（a-b） ，又一次验证：（a+b）（a-b）=a-b

如果我们把图（1）中的小正方形移到大正方形的内部（不一定在中间）时，当然阴影部分的面积仍是a2-b2 ，如图（7）所示，还能将阴影部分拼成一个规则的图形吗？我们不妨试一试：

拼法五：将图（7）沿虚线剪下来，得到四个小长方形⑴⑵⑶⑷，这是恰好可拼成如图（8）所示的长方形，长为（a+b），宽为（a-b），则长方形的面积为（a+b）（a-b），再一次验证了平方差公式。 ⑴ ⑶ ⑴ 图8 a-b 图7 ⑶ ⑷ b ⑷ ⑵

⑵

a+b

a

通过以上五种拼法，均可得到平方差公式，让我们进一步认识平方差公式的特点，利用数形结合的思想在拼图时将阴影部分拼成一个规则图形，同时让拼后的图形面积必须表示为（a+b）（a-b），从中我们认识到几何图形的多样性，便于思考问题时思路开阔，方法灵活。

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