基本不等式链

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关键词：基本不等式 高中数学教学随笔 必修5 >> 不等式

均值不等式链

aba2b2

ab基本不等式链：若a、b都是正数，则,当且仅当ab时等号成立. 1122ab

2

注：算术平均数--—

ab22ab

；几何平均数———ab；调和平均数——-;平方平均数-—

2

11abab

a2b2-2

. 证明1：（代数法）

（1）a0，b0(ab)2

0ab2ab

ab

2

ab; (2）ab212abab2

2ab0abababab11ab；

ab

（3）a2

b2

2ab2(a2

b2

)2aba2

b2

a2b2(ab)2a2b2ab

242

2

； 综上，2

11ababa2b2

，当且仅当ab时“”成立. a22b

证明2：(几何法）

G

D

D E AaBAaOCBA

a

OCbbO

Cb

B



如图，ACa，BCb，ABab,以AB为直径作圆O，则 图1：ODab，DC

DCOD

2

ab，ab

ab

2

； 图2：DCab，DEDC2OD2ab

ab

，DEDC2ababab； 图3：OCaba2b2

aba2b22，GC

2

，OGGC22； 授之以鱼，不如授之以渔。

1


界首一中 2011-01

aba2b2

ab综上，,当且仅当ab时成立. “”1122ab

2

证明3:（几何法）

作梯形ABCD，使AD//BC，B90，ADBCCD,令ADa，BCb，(ba)，E、F分别是AB、CD的中点,过E作EGCD于G,过G作GHAB于H,在EB上截取EN

ba

，则2

E、F分别是AB、CD的中点,EF

ED平分ADCEGEA

ba

， 2

1

ABab, 2DGaADCGBCDG

GH DGDA，GCBC

GCbab

2abGH，

abbaa2b2

EN, NF

22

，即

2ababa2b2

显然，GHEGEFFN，∴ ab

ab222ababa2b2

当“ab”时，。 ab

ab22

证明4：（几何法）

(ba)， 作梯形ABCD，使AD//BC，B90，ADBCAB,令ADa，BCb，

在AB上截取AEADa，AFBCb，则BEb，BFa

过E作EGAB交CD于G，过F作FOCD于O，过O作OHAB于H, 在EH、GO上分别取点M、N，使梯形EGNM与梯形MNOH相似,

1a2b2

则ADBF，AFBC，DFCFabCODOOFCD，

22

2

2

ADBCab

22，

ADBEBCAE2ab

 AEa，BEbEG,

abab

EGNMMNOH梯形与梯形

EGMNMNEGOHab MNOH

OCODOH

相似

2ababa2b2

显然，EGMNOHOF,∴ ab

ab22

2

问题是思考的结果，是创造的开始。


关键词：基本不等式 高中数学教学随笔 必修5 >> 不等式

aba2b2

2

2

。 授之以鱼，不如授之以渔。

3

2ab 当“ab”时，abab

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