不等式性质及公式

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高中数学不等式基本性质; 重要公式总结

1，若a＞b,则b＜a

2,若a＞b,b＞c,则a＞c(不等式的传递性). 3,若a＞b,则,a＋c＞b＋c(不等式的可加性). 4,若a＞b.c＞d则,a＋c＞b＋d

5,若a＞b,c＞0则,ac＞bc;a＞b,c＜0则.ac＜bc 6,若a＞b＞0,c＞d＞0则,ac＞bd.

7,若a＞b＞0则,a^n＞b^n. ﹙ n∈n*,n≥2﹚

8,若a＞b＞0,则n次根a＞n次根b. ﹙ n∈n*,n≥2﹚

3

3

3

1、a2b22ab,ab(ab)2（可直接用）

2

a2b2c2abbcca

2、

a2b2ab

22

ab

211

ab

（会证明）

(a,bR)



3、abc3abc(abc0即可） 4、abc33abc，(a,b,cR)

abc(

abc3

)3

；



不等式的证明规律及证明方法

5、|a||b||ab||a||b|，(a,b,cR)

方法一：作差比较法： 已知：abc1，求证：a2b2c21。

3

1的代换112122

证：左－右=(3a3b3c1)[3a23b23c2(abc)2][(ab)2(bc)2(ca)2]0

333

方法二：作上比较法，设a、b、cR，且abc，求证：abc

2a2b2c

abcbcacab

左a2ab2bc2cabc

证：bccaabaabaacbbcbbaccaccb()ab()bc()ca

右abcbca

aa

1,ab0()ab1 bbaaab

当0时(0,1)ab0()1

bb

aabbc

∴ 不论a>b还是a，()1，同理可证，()bc1，()ca1，……

bca

1112544

方法三：公式法：设a>0,b>0，且a+b=1，求证： ①ab ②(a)2(b)2

8ab2

当a>b>0时 证①由公式：

A2B2ABA2B2AB2得：

()2222

a4b4a2b22ab2211

()[()]a4b4

222168

A2B2AB2(AB)222

证②由 ()AB

222

1111ab211

∴ 左[(a)(b)]2[ab](1)2 （*）

2ab2ab2ab

∵ ab(

125ab2112

)4∴ (*)(14)

2224ab


方法四：放缩法： logn

(n1)

log(n1)

(n1)

(n2)

(n1)

∵ n>1， ∴ logn

0

n(n2)

∴ 只要证： log(n1)log(n1)1即可

11n(n2)2n(n2)2

)][log(n] 1)

2211(n22n1)2(n1)22

< [(logn1][log(n1)]1

22

左< [(logn1logn1

方法五：分析法：设a1，a2，b1，b2R，求证：(a1b1)(a2b2)a1a2b1b2(自证)

abnanbn

)方法六：归纳猜想、数学归纳法：设a0,b0，求证：(（自证） 22

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