球体体积公式的推导

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球体体积公式的推导

1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径 OA的

R

平面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是，半径分别为r1、r2、r3、…rn

n







由相交弦定理得 r12 =

1RR2

·(2R—) = R2(—2) ,

nnnn

r22

2R2R22222

= ·(2R—) = R(—2) ,，

nnnn

223R3R23

r32 = ·(2R—) = R2(—2)，

nnnn

………………… rn2

n2nRnR2n2

= ·(2R— ) = R ·（ — 2）

nnnn



R32R32222 R323321

∴V半球 = 兀·(—2)+兀·(—2)+兀·(—2)……

nnnnnnnnn

n2R32n+兀·（ — 2）

nnn

2222n2R3222232n1

=兀·（+++……+ —2—2—2—……—2）

nnnnnnnnn

R3123n122232n2

=兀·（2×—）

nn2n




R31n2n1n1 =兀·〔n + 1—·〕 2n6n

=兀R3 〔

n112n1n1 —·〕 2

n6n

=兀R3 ·4n23n1

6n

2

=兀R3 ·（

23+12n1

6n2） 当n趋近于∞时，11

2n = 0，6n2 = 所以V = 兀R3（2

半球3 + 0 + 0 ）

= 2

3兀R3

V = 4

球体体积兀R33

。



0，

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